Решение. Найдем смешанные частные производные второго порядка

Решение.

= ln( + 2 y ³)^/ _х=

=

d z =

Найдем смешанные частные производные второго порядка

=

Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством + 3 x ² sin y – 2 x z ³ = 0

F (x, y, z)= + 3 x ² sin y – 2 x z ³

F =

F =

F =

Задача 3. Дана сложная функция z = (3 t + 2 x ² – y)³, где x = tg t, y = . Найти полную производную .

Подставив в полученный ответ x = tg t, y = , получим:

Задача 4. Дана функция z = x ² – xy + 2 y ² + 3 x + 2 y +1 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости XОY: x x = 0, y = 0, x y =-x –5. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

1-го порядка равны нулю:

Решаем систему:

Стационарная точка М (-2, -1) (рис.1), является внутренней

а) На границе АВ выполняется y = 0 и функция z является функцией одной переменной

стационарная точка на границе АВ: N (– 1.5, 0);

б) На границе АС выполняется x = 0 и функция z является функцией переменной х:

.

стационарная точка на границе АC: K(0; -0, 5)

в) На границе ВС выполнено y =-x –5 и функция z является функцией одной переменной:

F(-3, 5; -1, 5) принадлежит области D

Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции в области D:

.

Ответы:

1) ;

2) рисунок 1.

Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = 3 y – x ² y + x. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М ₀(x ₀, y ₀, z ₀), принадлежащей ей, если x ₀ = 1, y ₀ = 5