ІІІ Київська міська олімпіада з математики для учнів 4–6 класів

4 клас

1. Для натурального числа визначимо дію «факторіал» («!») за таким правилом: , тобто це є добуток усіх чисел від 1 до , наприклад, , . Обчисліть значення виразу: .

Відповідь: .

Розв’язання. Якщо записати факторіали у розгорнутому вигляді, то матимемо, що

,

оскільки тут є множення на усі числа від до , а також ділення на них, тобто ці дії взаємно спрощуються і маємо наведену відповідь.

2. Торт «Україна» зроблений у вигляді квадрата , у якому кожний з квадратиків покритий жовтим чи блакитним кремом, як це показане на рис. 1. Розріжте його одним прямолінійним розрізом на дві частини таким чином, щоб у кожній з двох частин було однакове покриття жовтим та блакитним кремом. Цей розріз не обов’язково проводити вздовж ліній розділу малих квадратиків.

Розв’язання. Приклад такого розрізання показаний на рис. 2.

3. 100 верблюдів були розподілені поміж 10 різними пасовищами. На жодному з пасовищ немає однакової кількості верблюдів та жодне пасовище не порожнє. Яка найбільша кількість верблюдів може бути на одному пасовищі?

Відповідь: .

Розв’язання. Треба спочатку підрахувати, яка найменша кількість верблюдів може бути на усіх пасовищах, окрім найбільшого. Очевидно, що це величина складає: .

Таким чином на пасовищі найбільше може бути верблюдів.

4. На дошці записані 10 цифр «0» та 10 цифр «1». Олеся та Андрій по черзі стирають з дошки дві цифри та пишуть замість них одну за таким правилом – якщо витерті однакові цифри, то записується «0», якщо різні, то – «1». Якщо залишиться останньою цифра «0», то перемагає Олеся, якщо залишиться останньою «1», то – Андрій. Хто переможе у цій грі, якщо кожен прагне виграти та першим ходить Андрій?

Відповідь: перемагає Олеся.

Розв’язання. Після кожного ходу парність суми записаних чисел не змінюється. На початку гри вона парна. Тому наприкінці гри також парна, оскільки наприкінці гри залишиться одна цифра, то це повинен бути «0», а тому за будь-яких ходів перемагає Олеся.

5 клас

1. Для натурального числа визначимо дію «факторіал» («!») за таким правилом: , тобто це є добуток усіх чисел від 1 до , наприклад, , . Обчисліть значення виразу: .

Відповідь: .

Розв’язання. Якщо записати факторіали у розгорнутому вигляді, то матимемо, що

,

оскільки тут є множення на усі числа від до , а також ділення на них, тобто ці дії взаємно спрощуються і маємо наведену відповідь.

2. 100 верблюдів були розподілені поміж 10 різними пасовищами. На жодному з пасовищ немає однакової кількості верблюдів та жодне пасовище не порожнє. Яка найбільша кількість верблюдів може бути на одному пасовищі?

Відповідь: .

Розв’язання. Треба спочатку підрахувати, яка найменша кількість верблюдів може бути на усіх пасовищах, окрім найбільшого. Очевидно, що це величина складає: .

Таким чином на пасовищі найбільше може бути верблюдів.

Відповідь: з ним лицар та брехун.

Розв’язання. Якщо перший сказав правду, то він лицар, а ті двоє брехуни. Тоді другий сказав правду, а це не можливо. Тому перший був брехун. Тобто серед тих двох, що лишилися або 2 лицарі, або лицар та брехун. Якщо другий – лицар, то він сказав правду, тому третій лицар. Тоді він скаже, що з ним лицар та брехун. Якщо другий брехун, то він сказав неправду, тобто серед тих двох або обидва лицарі (що невірно, бо перший – брехун), або брехуни. Але тоді усі троє брехуни і перший сказав би правду, що не так (що не можливо для брехуна). Тому залишилася єдина можливість, яка виділена підкресленням.

4. З 16 точок, що зображені на рис.3, виберіть 8, які задовольняють таку умову: будь-які 3 точки з цих 8, що не лежать на одній прямій, утворюють не гострокутний трикутник.

Відповідь: достатньо вибрати, наприклад, верхні 8 точок (рис. 4). Це не єдиний можливий розв’язок.

5. Кімнати в дитячому садочку пронумеровані натуральними числами 1, 2, 3 і так далі. Щоб повісити номери на кожній кімнаті було закуплено відповідну кількість цифр, тобто усі цифри були використані і жодної зайвої не придбали. Виявилось, що цифр 1 та 2 закуплено однаково і більше, ніж цифр 3, крім того цифр 6 та 7 закуплено різну кількість. Скільки кімнат у дитячому садочку, якщо їх кількість не перевищує 100? Наведіть усі можливі відповіді.

Відповідь: , або .

Розв’язання. Якщо цифр 1 та 2 однакова кількість, то кімнат не менше від 29. Оскільки цифр 2 більше ніж цифр 3, то кількість кімнат може бути між 30 та 38 (включно), або один із варіантів на кшталт 42, 52,..., 92.

Якщо маємо перший варіант між 30 та 38, то з другої умови кімнат повинно бути .

Якщо маємо другий варіант, то кімнат повинно бути або .

6. Розшифруйте числовий ребус, у якому однаковим буквам відповідають однакові цифри, а різним – різні: .

Відповідь: , .

Розв’язання. Оскільки , то, щоб одержати двоцифрове число у правій частині, треба щоб . Тоді маємо, що , звідки .

7. На дошці записані 10 цифр «0» та 10 цифр «1». Олеся та Андрій по черзі стирають з дошки дві цифри та пишуть замість них одну за таким правилом – якщо витерті однакові цифри, то записується «0», якщо різні, то – «1». Якщо залишиться останньою цифра «0», то перемагає Олеся, якщо залишиться останньою «1», то – Андрій. Хто переможе у цій грі, якщо кожен прагне виграти та першим ходить Андрій?

Відповідь: перемагає Олеся.

Розв’язання. Після кожного ходу парність суми записаних чисел не змінюється. На початку гри вона парна. Тому наприкінці гри також парна, оскільки наприкінці гри залишиться одна цифра, то це повинен бути «0», а тому за будь-яких ходів перемагає Олеся.

8. Яку найменшу суму цифр може мати число, що ділиться на 555?

Відповідь: .

Розв’язання. Оскільки число ділиться на , то його сума цифр може бути щонайменше , а тому умову задовольняє, наприклад, число . Зрозуміло, що можна дописати скільки завгодно нулів і одержимо інші такі числа, що задовольняють умову.