Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение.

Для аппроксимации табличных данных линейной зависимостью у=ах+b, будем находить параметры a и b по следующим формулам:

,

Вычисляем математические ожидания:

, в нашем случае n=5

Вычисляем дисперсию:

Вычисляем ковариационный момент – среднее попарных произведений отклонений:

Теперь вычисляем необходимые параметры а и b:

Таки образом, мы аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью:

Обозначим функцию выравнивания через

σ (ŷ) – квадрат разности между значением и соответствующим экспериментальным значением y.

σ (y*) – квадрат разности между значением у* и соответствующим экспериментальным значением y.

å σ (ŷ), å σ (y*) – суммы по соответствующим столбцам.

Составим таблицу

Расчеты произведены в Excel. При вычислении 3-го столбца исходные данные из первых двух столбцов подставляются в полученное нами уравнение . При вычислении 4-го столбца исходные данные подставляются в . При вычислении 5-го столбца из второго вычитаем третий и возводим эту разность в квадрат. При вычислении 6-го столбца из второго вычитаем четвертый и возводим эту разность в квадрат. Затем производим суммирование по пятому и шестому столбцам.

Мы видим, что функция полученная МНК лучше выравнивает экспериментальные данные (13, 1 < 19, 0), чем заданная по условию функция выравнивания .

Сделаем чертеж. На нем кружочками обозначены эмпирические данные, пунктирная прямая – график линейной аппроксимации, сплошная линия – график первоначально заданной выравнивающей функции.

5. Вычислить определенный интеграл