статистических распределений

Для наглядности принято использовать следующие формы графического представления статистических распределений: полигоны и гистограммы.

Дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами ( _i, _i); аналогично полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (, w_i ).

Интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частот есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - интервалы длиной , а высоты - плотности частот . Для гистограммы относительных частот высоты прямоугольников - плотности относительных частот . Здесь в общем случае , однако на практике чаще всего полагают величину h одинаковой для всех интервалов. где i =1, 2,..., k.

Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников.

таким образом, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна единице.

В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятности . Поэтому гистограмму можно использовать для подбора закона распределения генеральной совокупности.

Кумулятивные ряды графически изображают в виде кумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат - накопленные частоты Н () или относительные накопленные частоты , а затем точки с координатами ( _i; H ( _i)) или ( _i; ) соединяют отрезками прямой. В теории вероятностей кумуляте соответствует график интегральной функции распределения .

Замечание 1. Если в статистическом исследовании исходным является статистическое распределение в виде интервального ряда (сгруппированные данные), а исходный вариационный ряд недоступен, то точное расположение отдельных вариант, попавших в каждый из интервалов, неизвестно. Только выбирая в качестве аргумента эмпирической функции распределения правую границу интервала (x_{i -1} -x_i), мы уверены, что все варианты, попавшие в этот интервал, будут учтены (просуммированы) в значении накопленной частоты (накопленной относительной частоты), соответствующей этому интервалу.

Поэтому в случае интервального ряда значения и H (x) точно определены лишь для правой границы интервала: x = x_i. В остальных точках интервала x_{i- 1} < x < x_i значения и H (x) можно задать лишь приближенно. Примером может служить кумулята, отрезки прямых которой представляют собой выраженную в графической форме линейную интерполяцию значений и H (x) на интервале x_{i- 1} < x < x_i.

Замечание 2. В случае дискретного ряда использовать кумуляту для изображения и H (x) можно лишь условно, для наглядности. Более корректным является изображение эмпирической функции распределения , а также H (x) по аналогии с теоретической функцией распределения дискретной случайной величины (рис. 3) ступенчатым графиком - отрезками прямых, параллельных оси абсцисс; длины отрезков - h_i = x_i - x_{i -1} , расстояния от отрезков до оси абсцисс - , или H (x_i).

Пример 1. Имеется распределение 80 предприятий по числу работающих на них (чел.):

								.

Построить полигон распределения частот.

Решение. Признак Х - число работающих (чел.) на предприятии. В данной задаче признак Х является дискретным. Поскольку различных значений признака сравнительно немного - k = 7, применять интервальный ряд для представления статистического распределения нецелесообразно (в прикладной статистике в подобных задачах часто используют именно интервальный ряд). Ряд распределения - дискретный. Построим полигон распределения частот (рис. 1).

Рис. 1

Пример 2. Дано распределение 100 рабочих по затратам времени на обработку одной детали (мин):

xi -1 -xi	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
							.

Построить гистограмму частот.

Решение. Признак Х - затраты времени на обработку одной детали (мин). Признак Х - непрерывный, ряд распределения - интервальный. Построим гистограмму частот (рис. 2), предварительно определив (k = 6) и плотность частоты .

xi -1 -xi	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
							.

Рис. 2

Пример 3. В распределении, данном в примере 1, найти накопленные частоты H ( _i) и построить кумуляту.

Решение. Используем значения Н (х): H (x ₁)=0, H (x_i)= H (x_{i -1})+ m_{i -1} (i= 2, 3, ј, k+ 1, k =7).

i
xi
mi
H ( i )		0+1=1	1+3=4	4+7=11	11+30=41	41+19=60	60+15=75	75+5=80

На рис. 3 показана кумулята распределения предприятий по числу работающих (чел.).

Пример 4. В распределении, данном в примере 2, составить эмпирическую функцию распределения и построить кумуляту относительных частот.

Решение. Используем значения Н (х): H (x ₀)=0, H (x_i)= H (x_{i -1})+ m_i (i= 1, 2, ј, k, k =6). Проверка: 1.

	i
	xi -1 -xi	-Ґ-22	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
	mi
	H ( i )		0+2=2	2+12=14	14+34=48	48+40=88	88+10=98	98+2=100
		0, 02	0, 14	0, 48	0, 88	0, 98

Построим кумуляту распределения (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4