Матричное представление циклических кодов.

Так как существует два способа образования циклического кода, то, соответственно, существуют два способа матричного представления.

По первому способу образования циклического кода производящая матрица формируется путем уменьшения образующего полинома g(x) степени n-k на одночлен х^n-k и последующих k-1 сдвигов полученной комбинации.

A=

Например, для g(x)=1+х+х³ производящая матрица циклического кода (7, 4) имеет вид

A_{7, 4}=

Мы принимаем х⁷=1, х⁸=х, х⁹=х².

По второму способу производящая матрица представляется двумя подматрицами: информационной J_k и дополнительной .

A_{n, k}= J_k=

Информационная подматрица J_k представляет собой квадратную единичную матрицу с количеством строк и столбцов, равным k.

Дополнительная подматрица содержит =n-k столбцов и k строк и образована остатками R(x). Пусть, например, необходимо построить производящую матрицу (7, 4) циклического кода, при образующем полиноме g(x)=1+x+x³. Для получения первой строки дополнительной подматрицы первая строка (1000) информационной подматрицы уменьшается на х³(х^n-k) и делится на g(x). Это соответствует выполнению операций . Остаток этой операции равен 1+х=110. 2-ая строка x∙ x³/(х³+х+1), остаток =011; 3-я строка х²∙ х³/(x³+x+1), остаток=110; 4-ая строка х³∙ х³/(x³+x+1), остаток=101.

Таким образом = , J_k= окончательно, производящая матрица

A_{7, 4}=