Арифметические софизмы

Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

«Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А> В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ> В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А> В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)> (В+А)(В-А). (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А> В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А> В, имеем 2А> 2В+А, откуда А> 2В. Итак, если А> В, то А> 2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6> 5 следует, что 6> 10. Где же ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А> В, поэтому В-А< 0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравен-ства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А< В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В< А, получим просто исходное неравенство А+В< В+2А

«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»

Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напи-шем и напишем для них следующие очевидные неравенства: А> -В и В> -В. (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*В> В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В> 0, придем к выводу, что А> В. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В> -А и А> -А, (3) Аналогично предыдущему получим, что В*А> А*А, а разделив на А> 0, придем к неравенству А> В. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка???

Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств. Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В> 0, В+В> 0. Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)> 0, или А> -В, что представляет собой просто верное неравенство. Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде (В+А)> 0, А+А> 0, получим просто верное неравенство В> -А.