Класс монотонных функций

Рассмотрим множество двоичных слов длины . Зададим на этом множестве отношение порядка (предшествования) следующим образом: будем говорить, что слово

предшествует слову

,

если

.

Тот факт, что слово предшествует слову будем обозначать .

Отношение предшествования удовлетворяет аксиомам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Например, 00 10 11, 0010 0111 1111.

Слова 01 и 10 не находятся в отношении предшествования. Такие слова называются несравнимыми.

Отношение “ ” можно представить в виде ориентированного графа. Для имеем следующий граф:

Рис. 1. Представление отношения предшествования в виде ориентированного графа

Слово предшествует слову , если от к можно пройти по стрелкам.

Функция называется монотонной, если для любых наборов переменных и выполняется условие

,

то есть значение функции на меньшем наборе не превосходит значения функции на большем наборе.

Очевидно, что функция, равная монотонной функции, также является монотонной.

Например, монотонными функциями будут 0, 1, , , .

Обозначим через множество всех монотонных функций. Покажем, что класс монотонных функций замкнут.

Лемма 3. Суперпозиция функций из класса является функцией класса .

Доказательство. Доказательство леммы проведем на примере конкретной суперпозиции, рассуждение для общего случая будет аналогичным.

Пусть , где . Покажем, что . Рассмотрим два сравнимых набора значений аргументов функции :

.

Тогда , и в силу монотонности имеет место неравенство

.

Отсюда и в силу монотонности имеет место неравенство

.

В результате имеем

Таким образом, . Лемма доказана.

Будем называть наборы и соседними по -ой координате, если

, .

Докажем теперь лемму о немонотонной функции.

Лемма 4. Из немонотонной функции путем подстановки констант на места некоторых аргументов можно получить отрицание.

Доказательство. Пусть . Это значит, что

.

Покажем, что для функции найдется пара соседних наборов, для которых нарушается условие монотонности. Очевидно, пару соседних наборов и , для которых , всегда можно связать цепочкой соседних наборов. Возьмем пару соседних наборов , , для которых

, .

Рассмотрим функцию одного аргумента

.

Имеем

.

Так как , а , то . Лемма доказана.