Минимизация булевых функций методом Квайна-Мак-Класски

Данный метод основывается на представлении элементарных конъюнкций, входящих в совершенную ДНФ данной функции, в виде двоичных чисел, называемых номерами соответствующих наборов. Кроме номера, каждой элементарной конъюнкции присваивается определенный индекс, равный числу единиц в двоичном представлении данного набора. Например:

элементарная конъюнкция (набор) ; номер 010(2); индекс 1;

элементарная конъюнкция (набор) ; номер 110(6); индекс 2.

В результате реализации данного метода функция разлагается на простые импликанты. Алгоритм Квайна-Мак-Класски формулируется следующим образом: для того, чтобы два числа и являлись номерами двух склеивающихся между собой наборов, необходимо и достаточно, чтобы индексы данных чисел отличались на единицу, сами числа отличались на степень числа 2 и число с большим индексом было больше числа с меньшим индексом.

Пример 2. Реализацию алгоритма рассмотрим на примере минимизации функции

.

На первом этапе минимизации определяем номера и индексы каждого набора, записывая функцию в виде

.

На втором этапе группируем наборы, располагая их в порядке возрастания индексов (табл. 1).

Таблица 1. Минимизация ФАЛ методом Квайна-Мак-Класски

На третьем этапе производим склеивание различных наборов, руководствуясь приведенной выше формулировкой алгоритма. При склеивании не совпадающие в числах разряды отмечаются прочерками. Например, склеивание чисел 0001 и 0011 дает число 00-1. Результат склеивания записывается в следующий столбец таблицы 1, также разделяемый на строки с индексами, отличающимися на единицу. После склеивания всех групп первого столбца таблицы переходят ко второму, записывая результат склеивания в третий столбец. При объединении второго и последующих столбцов таблицы возможно склеивать только числа, содержащие прочерки в одноименных разрядах. Склеивание продолжается до тех пор, пока образование нового столбца станет невозможно.

На четвертом этапе после окончания склеивания приступают к построению импликантной таблицы (табл. 2), записывая в нее в качестве простых импликант наборы, содержащиеся в последнем столбце таблицы 1. В таблицу 2 также вписываются в качестве простых импликант наборы из других столбцов таблицы 1, не принимавшие участия в склеивании. Если импликанта, содержащаяся в -ой строке таблицы, составляет часть конституенты -го столбца, то на пересечении -ой строки и -го столбца ставится символ *. Для получения минимальной формы ФАЛ из таблицы 2 необходимо выбрать минимальное число строк, чтобы для каждого столбца среди выбранных строк нашлась хотя бы одна, содержащая в этом столбце символ *.

Таблица 2. Импликантная таблица минимизируемой функции

Импликаты	Наборы
	*	*		*		*
	*		*		*	*

В результате минимизации функция представится в виде

.