Понятие схемы из ФЭ

ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА

План лекции:

1. Понятие схемы из функциональных элементов ( ФЭ).

2. Задачи анализа и синтеза схем из ФЭ.

Понятие схемы из ФЭ

В современной технике управляющих и вычислительных устройств важное место занимают дискретные преобразователи, т. е. устройства, которые обладают некоторым числом входов и выходов. Наборы сигналов, поступающие на входы и возникающие на выходах, принадлежат известным конечным множествам. Устройства осуществляют преобразования входных наборов сигналов в выходные. Математической моделью таких устройств являются так называемые схемы из функциональных элементов (СФЭ).

В качестве примера рассмотрим электрическую схему из трех диодов и сопротивления, показанную на рис. 1.

Рис. 1. Электрическая схема и ее условное обозначение

В точках схемы, изображенных кружком, в различные моменты времени возможно появление либо высокого уровня, приблизительно равного 5 В, либо низкого уровня, приблизительно равного нулю. В точке схемы, отмеченной черточкой, поддерживается постоянно низкий уровень напряжения.

Точки, отмеченные, будем интерпретировать как входы, а точку – как выход. Работу схемы можно описать следующим образом: если на всех входах низкий уровень напряжения, то на выходе тоже низкий, если хотя бы на одном из входов высокий уровень напряжения, то на выходе – высокий. Если обозначить состояние с высоким уровнем напряжения единицей, а с низким – нулем, то зависимость выхода от входов можно задать при помощи булевой функции .

На основании этого приведенную схему называют логическим элементом «ИЛИ».

Подобные схемы можно построить из электронных ламп, электромеханических переключателей, пневмоэлементов и др. Зависимость выхода от входов может описываться не только как дизъюнкция, но также при помощи конъюнкции, отрицания и более сложных булевых функций.

Будем рассматривать логические элементы с различной зависимостью выхода от входов. Эти элементы можно соединять друг с другом, подавая выходы некоторых элементов на входы других. В результате получаем СФЭ.

Определение понятия СФЭ можно разбить на два этапа. На первом этапе раскрывается структурная часть этого понятия, на втором – функциональная.

I этап. Разобьем этот этап на ряд пунктов.

1°. Имеется конечное множество объектов (), называемых логическими элементами. Каждый элемент имеет входов и один выход. Элемент графически изображается так, как указано на рис. 2.

2°. По индукции определяем понятие логической сети как объекта, в котором имеется некоторое число входов и некоторое число выходов (рис. 3).

а) Базис индукции. Изолированная вершина называется тривиальной логической сетью. По определению, она является одновременно входом и выходом (рис. 4).

°

…

Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

б) Индуктивный переход. Эта часть основана на использовании трех операций.

I°. Операция объединения непересекающихся сетей. Пусть и – две непересекающиеся сети (без общих элементов, входов и выходов), имеющие соответственно и входов и и выходов. Теоретико-множественное объединение сетей и есть логическая сеть , которая имеет входов и выходов.

II°. Операция присоединения элемента . Пусть сеть и элемент таковы, что и в выбрано различных выходов с номерами . Тогда фигура называется логической сетью, являющейся результатом подключения элемента к сети . Входами являются все входы , выходами – все выходы сети , кроме выходов с номерами , а также выход элемента . Сеть имеет входов и выходов (рис. 5).

… …

Рис. 6.

Рис. 5

III°. Операция расщепления выхода. Пусть в сети выделен выход с номером . Тогда фигура называется логической сетью, полученной путем расщепления выхода . Входами являются все входы , выходами – все выходы сети с номерами 1, …, , , …, и еще два выхода, возникших из выхода с номером сети (рис. 6). Следовательно, имеет входов и выходов.

3°. Пусть заданы алфавиты и .

Схемой из функциональных элементов называется логическая сеть с входами из алфавита и выходами из алфавита , которая обозначается

. (1)

Приведем примеры схем.

1. Пусть множество состоит из трех элементов И (конъюнктора), ИЛИ (дизъюнктора) и НЕ (инвертора).

Тогда фигура (рис. 6) будет схемой, так как она может быть построена с использованием операций I°–III°.

Рис. 6 Рис. 7

2. Фигура, изображенная на рис. 7, будет также схемой.

II этап. Определение функционирования схемы.

4°. Сопоставим СФЭ (1) систему функций алгебры логики

(2)

называемую также проводимостью данной схемы.

Пример. а) Для схемы имеем систему, состоящую из одного уравнения

или .

б) Для схемы аналогично получаем

.