Понятие отображения множеств

Отображением множества во множество называется функциональное соответствие (обозначение ). Множество называется областью определения отображения, элемент – аргументом отображения, элемент – образом при отображении . При этом пишут . Часто, когда множества – числовые, отображение называют функцией. Если числовое только множество , то отображение называют функционалом.

Образом подмножества при отображении называется множество

.

Прообразом подмножества при отображении называется множество

.

По аналогии с соответствиями различают сюръективные, инъективные и биективные отображения.

Пример 1. Обозначим через . Рассмотрим следующие три отображения

,

которые зададим одной формулой: . Они различны, так как различны исходные множества. При этом является сюръективным, но не инъективным; – инъективно, но не сюръективно; – биективно.

Отображения вида называются преобразованиями множества . Преобразование называется тождественным, если .

Пусть и – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение , определяемое следующим образом:

.

Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.

Операция суперпозиции ассоциативна: , где , , – отображения.

Пусть и . Отображение называется обратным к отображению (а отображение обратным к ), если

, .

Обратное отображение обозначается . Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.

Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Пусть .

Необходимость. Пусть существует обратное отображение . Рассмотрим и . Тогда , где – прообраз при отображении . Таким образом имеет прообраз , т. е. сюръективно.

Далее, если , причем , то . Следовательно, , т. е. и инъективно. Отсюда биективно, и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть биективно. Определим отображение следующим образом. Положим , если . В силу биективности отображение определено на всем , и .