Свойства производящих функций

1) Линейной комбинации последовательностей взаимно однозначно соответствует линейная комбинация их производящих функций:

2) Дифференцирование производящей функции : .

Например, дифференцируя функцию , получим

,

то есть производящей функцией последовательности является функция : .

Дифференцируя раз функцию , будем иметь

.

После деления на получим производящую функцию для сочетаний

. (3)

3) Умножение производящей функции на соответствует сдвигу членов последовательности на одну позицию вправо. Если , то .

Например, производящей функцией последовательности (0, 1, 2, …, , …) является функция : .

4) Интегрирование производящей функции :

В качестве примера найдем . Используем формулу бинома Ньютона

. (4)

Числа называют биномиальными коэффициентами. При :

. (5)

Из равенства (5) следует, что функция является производящей для последовательности . Можно также написать

. (6)

Интегрируя левую часть соотношения (5), получим

.

Для правой части имеем

.

При находим

.

Формула бинома Ньютона для вещественного показателя. Название формулы (4) биномом Ньютона исторически неверно, так как эту формулу хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэддин и др. В Западной Европе задолго до Ньютона ее знал Паскаль. Заслуга же Ньютона заключалась в том, что ему удалось обобщить формулу для на случай произвольного вещественного показателя степени , если в качестве биномиальных коэффициентов использовать числа

, (7)

причем вместо конечного числа слагаемых мы имеем бесконечный ряд:

(8)

Из формулы (8) многие производящие функции получаются как частные случаи. Во-первых, при имеем формулу (4), так как при . Во-вторых, при , и замене на приходим к формуле (3).

5) Производящая функция для свертки последовательностей. Сверткой последовательностей и называется последовательность , элементы которой вычисляются по правилу: , , , …, , …

Операция свертки является основной в цифровой обработке сигналов: после свертывания последовательности отсчетов сигнала со специально подобранной последовательностью происходит фильтрация – усиление одних частот и подавление других.

Свертка обозначается звездочкой: .

Производящая функция свертки равна произведению производящих функций свертываемых последовательностей:

.

Действительно, при перемножении и -ая степень переменной складывается из всевозможных произведений , в которых первый сомножитель из , а второй из .

Пример. Формула Вандермонда. Пусть

, .

По правилу свертки . С другой стороны,

.

Следовательно,

. (9)