Краткие теоретические сведения. Функция распределения – функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение

Функция распределения – функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

.

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений.

Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) – функция F^*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х < x.

В отличии от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Различие между эмпирической и теоретической функцией состоит в том, что теоретическая функция F(х) определяет вероятность события Х < х, а эмпирическая функция F^*(х) определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события Х < х, т.е. F^*(х), стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Другими словами, при больших n числа F^*(х) и F(х) близки между собой. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Функция F^*(х) обладает всеми свойствами F(х):

- значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; 1];

- F^*(х) – неубывающая функция;

- если х₁ – наименьшая варианта, то F^*(х) = 0 при ; если х_k – наибольшая варианта, то F^*(х) = 1 при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.