Производные высших порядков.

5.50. 5.51. 5.52. 5.53. 5.54. 5.55.

5.56. 5.57. 5.58. 5.59.

Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , линейного относительно , где -рассматривается как сложная функция переменной .

Если и -взаимно обратные дифференцируемые функции и , то справедлива формула: (правило дифференцирования обратной функции).

Если дифференцируемая функция задана параметрически: , , где , -дифференцируемые функции и , то справедлива формула: .

В задачах 5.60-5.64 для функций , заданных неявно, найти

5.60.5.61.5.62.5.63.

5.64.

В задачах 5.65-5.71 для функций , заданных параметрически, найти

5.65. 5.66. 5.67.

5.68. 5.69.

5.70. 5.71.

Производные высших порядков.

Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка ( - ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. . Для производной используется также обозначение .

Производная функции находится её последовательным дифференцированием: , , …, . Если функция задана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам: , , ….

В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций:

5.72. 5.73. 5.74. 5.75. 5.76. 5.77. 5.78. 5.79. 5.80.

В задачах 5.81-5.84 найти производные указанного порядка от следующих функций:

5.81 5.82 5.83 5.84

В задачах 5.85-5.90 найти формулу для -ой производной от следующих функций:

5.85. 5.86.. 5.87. 5.88. 5.89. 5.90.

В задачах 5.91-5.96 найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:

5.91 5.92 . 5.93 .

5.94 . 5.95 . 5.96 .

ОТВЕТЫ:

5.50 5.51 5.52

5.53 5.54 5.55

5.56 5.57.

5.58 5.59 5.60 5.61

5.62 5.63 5.64 5.65 5.66 5.67 5.68

5.69 5.70 5.71. 5.72 5.73 5.74 5.75 5.76 5.77 5.78 5.79

5.80 5.81 5.82 5.83 5.84 5.85

5.86 5.87 5.88 5.89 5.90

5.91 5.92 5.93 5.94 5.95 5.96