Доказательство и истинность

Целью доказательства является установление истинности тезиса. Однако истинность суждения, обоснованного посредством доказательства, как правило, не носит безусловного характера, т.е. в большинстве случаев доказанное суждение представляет собой лишь относительную истину. Относительность истинности доказанных суждений вытекает,

во-первых, из того, что основания доказательства – это особенно ясно видно в эмпирических науках – лишь приблизительно верно отражают действительность, т.е. в свою очередь являются относительными истинами;

во-вторых, применимость данной логики к одному кругу объектов еще не означает применимости ее к другому, более широкому кругу. Например, логика, применимая к конечным объектам, может оказаться неприменимой к объектам бесконечным. Так, известный чешский математик Б. Больцано (1781-1848) считал парадоксом тот факт, что множество всех натуральных чисел равномощно своей собственной части – множеству всех четных (или нечетных) чисел. Его ошибка проистекала оттого, что свойства конечных объектов (часть меньше целого) нельзя было механически распространять на бесконечные объекты;

в-третьих, существует целый ряд понятий, которые, не будучи четко определены, могут приводить к противоречиям при их использовании в рамках обычной человеческой логики. Например, понятие всемогущества Божия, неверно понимаемого как неограниченная способность совершать любые действия, приводит к парадоксам, типа известного вопроса о том, может ли Бог сотворить камень, который не сможет поднять? (В действительности, Его всемогущество является лишь одним из проявлений Его любви и премудрости. Поэтому Бог не может совершить зла, сотворить другого бога, перестать быть Богом и т.п.).

Поэтому, чтобы гарантировать истинность доказанного суждения, необходимо четкое определение употребляемых понятий, применимость употребляемой логики к данному кругу объектов, выяснение непротиворечивости данной системы. Но последнее является особенно трудной задачей даже для формальной арифметики.

Как доказал Гёдель, утверждение о непротиворечивости формальной системы в рамках самой системы недоказуемо[96]. Великий немецкий математик Гильберт († 1943) сокрушался по этому поводу: «... Подумайте: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений... приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку»[97].

Современное «развитие теории познания показало, что никакая форма умозаключений не может дать абсолютно достоверного знания»[98].