Элементарные преобразования матриц.

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

2. Умножение всех элементов ряда на число отличное от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрицы A и B называются эквивалентными, когда одна получается из другой путем элементарных преобразований. Эквивалентность двух матриц обозначается с помощью символа следования, т.е. .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, в которой на главной диагонали стоит 1, а все остальные элементы равны 0. такую матрицу называют канонической.

Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

, ,

где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле или ,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Примеры.

Найти матрицу обратную к , если .

Решение. Прежде всего, вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для существует обратная матрица.

Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .

Вычислим последовательно элементы :

, ,

, ,

, ,

, ,

.

С учётом полученного обратная к матрица имеет вид: .