Краткие теоретические сведения

При ударе тела деформируются, и в месте контакта возникают весьма значительные ударные силы F _уд, величина которых соответствует 10⁴ –10⁶ Н. Для системы соударяющихся тел эти силы являются внутренними и не изменяют общего импульса системы, т.е. такая система является замкнутой. Следствием удара могут быть остаточные деформации, звуковые колебания, нагревание тел, изменение механических свойств их материалов, а при больших скоростях соударения, больших так называемых критических, наблюдается разрушение тел в месте удара. Характер протекания удара существенно зависит от модуля упругости, твердости, вязкости и других свойств материала соударяющихся тел, размеров и массы тел. Знание времени соударения позволяет производить расчет возникающих при ударе сил, что очень важно при решении многих технических задач.

Во время удара кинетическая энергия ударяющего тела переходит в энергию упругой деформации. При этом возникают упругие силы, возрастающие с увеличением деформации, направленные противоположно относительным скоростям соударяющихся тел. Возникающие в результате действия упругих сил ускорения уменьшают скорости тел до тех пор, пока они не станут одинаковыми, или, что тоже самое, пока относительная скорость тел не станет равной нулю. С момента, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление деформации. Силы, продолжая действовать в прежнем направлении, сообщают теперь взаимодействующим телам положительные ускорения, а, следовательно, скорости взаимодействующих тел возрастают по абсолютной величине, направление же их меняется на противоположное.

Если направление движения соударяющихся тел в момент их соприкосновения совпадает с прямой, соединяющей центры масс тел, то такой удар называют центральным.

Различают два предельных случая удара – абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Удар называется абсолютно упругим, если механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические виды энергии. В этом случае кинетическая энергия соударяющихся тел переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации, после чего тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной механической энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. После удара столкнувшиеся тела либо движутся вместе с одинаковой скоростью, либо покоятся. При таком ударе выполняется закон сохранения импульса, однако закон сохранения механической энергии не выполняется, т.к. часть механической энергии переходит во внутреннюю. В этом случае выполняется более общий закон сохранения энергии – механической и внутренней. В реальных ситуациях всегда имеет место некоторая комбинация обоих предельных случаев.

Для характеристики удара вводят понятие коэффициента восстановления относительной скорости при ударе k, который характеризует степень неупругости удара:

(1)

где относительная скорость шаров до удара,

относительная скорость шаров после удара.

Для абсолютно упругого удара k = 1, для абсолютно неупругого удара k = 0, во всех остальных случаях (реальный удар) 0 < k < 1 (например, для стальных шаров k≈ 0, 56, для шаров из слоновой кости k≈ 0, 89, для свинца k≈ 0).

Помимо коэффициента восстановления относительной скорости вводят также коэффициент восстановления энергии ε, определяемый выражением:

(2)

где = - суммарная кинетическиа энергия тел после удара;

= - суммарная кинетическиа энергия тел до удара.

Величину средней силы удара можно найти на основании второго закона Ньютона:

(3)

где - модуль изменения импульса одного из тел в результате удара, t – время удара.

Рис. 1

Рассмотрим абсолютно упругий центральный прямой удар двух шаров с массами и и скоростями и соответственно (рис.1а).

Согласно закону сохранения импульса, имеем:

(4)

где и – скорости шаров после соударения (рис.1б).

Запишем выражение закона сохранения энергии:

(5)

Перепишем уравнение (4) в виде:

(6)

а уравнение (5) в виде:

(7)

Сопоставив (6) и (7), можно заключить, что

(8)

Умножив (8) на m ₂ и вычтя результат из (6), а затем, умножив (8) на m ₁ и сложив результат с (6), получим скорости шаров после удара:

. (9)

Для численных расчетов нужно спроектировать соотношения (9) на ось, вдоль которой движутся шары.

Рассмотрим упругий удар шара массой о неподвижную стенку. Масса стенки > > , и поэтому

Тогда

При покоящейся стенке и поэтому

– скорость стенки остается неизменной, скорость же шара меняет свое направление на противоположное.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар. Продемонстрировать такой удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстре­чу друг другу (рис. 2).

Рис.2

Если массы шаров т ₁ и т ₂, их скорости до удара , то, используя закон сохранения импульса, можно записать

где — скорость движения шаров после удара. Тогда

(10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (т ₁= т ₂), то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшая в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (10), получаем

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно ( = 0), то

Когда m ₂> > m ₁ (масса неподвижного тела очень большая), то < < и почти вся кинети­ческая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m ₁> > m ₂ ), тогда ≈ и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.