Исследование линейных колебательных систем с одной и двумя степенями свободы. Изучение работы динамического гасителя колебаний

Лабораторная работа №1

Выполнили:

Савиковский А.В.

Третьяков Д.А.

Долгов И.А.

Группа: 33602/2

Преподаватели:

Штукин Л.В

Привалова О.В.

Санкт-Петербург

2015 год

Введение

Описание установки:

Схема установки представлена на рис.1. Прямоугольная плита 1 закреплена на основании 2 с помощью четырех пар упругих элементов 3, конструктивно образуя вибростол. На верхней поверхности плиты 1 закреплены электродвигатель постоянного тока 4 и кронштейн 5 с подшипниками. В подшипниках установлен вал с диском 6. Диск 6 соединен с электродвигателем 4 ременной передачей. На диске 6 закреплен стержень 7 с грузом 8. На плите 1 закреплена также консольная пластина 9, на которой может быть установлен груз 10, образующий вместе с пластиной 9 динамический гаситель колебаний вибростола. На нижней поверхности плиты 1 закреплены лопатка 11, погруженная в масло, и кронштейн 12 для закрепления динамометра 13.

Упругие элементы 2 и консольная пластина 9 оснащены тензорезисторами. Тензорезисторы подключены к двухканальному тензоусилителю. Выход тензоусилителя соединен с электронным осциллографом. Измеритель частоты вращения диска 6 содержит диск с отверстиями, источник света, фоторезистор, схему формирования импульсов и цифровой частотомер.

Для измерения статического смещения вибростола служит индикатор часового типа

Рисунок 1: Схема установки

1 – стол; 2 – основание; 3 – упругая опора; 4 – двигатель; 5 – кронштейн; 6 – диск; 7 – стержень; 8 – груз; 9 – пластина; 10 – груз; 11 – лопатка; 12 – кронштейн; 13 – динамометр

Параметры установки:

Масса неуравновешенного вращающегося груза, г 96

Эксцентриситет груза, мм 20

Масса груза динамического гасителя, кг 2, 2

Постановка задачи:

1) Исследование свободных колебаний в системе с одной степенью свободы, экспериментальная оценка характера действующих в системе сил трения и определение коэффициентов уравнения движения по экспериментальным данным

2) Исследование вынужденных колебаний в системе с одной степенью свободы

3) Исследование явления динамического гашения колебаний

Исследование колебаний с одной степенью свободы

В данном разделе будем рассматривать только продольные колебания стола ввиду того, что жесткость его опор при продольных колебаниях много меньше жесткости при колебаниях поперечных.

Рисунок 2: частота воздействия, - масса груза, r – эксцентриситет груза, - сила

В нашем случае:

Введем обозначение:

Запишем проекции силы на оси и :

Поскольку мы рассматриваем движение по оси х, возьмем значение проекции силы по модулю:

В качестве упрощенной модели нашей установки можем рассмотреть грузик на пружинке:

Рисунок 3: Механическая модель системы без гасителя; c – суммарная жесткость всех упругих опор, b – коэф-т сопротивления, M – масса стола

Обратимся к полученной формуле:

Составим уравнение движения данной системы:

Введем:

Подставив в уравнение, получим:

Исследование свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивления. Экспериментальная оценка параметров системы

В случае свободных колебаний выполнено:

Будем искать решение в виде:

Рассмотрим случай малого трения: .

Обозначим:

Тогда:

Любая линейная комбинация решений - тоже решение, поэтому запишем:

Обозначим:

Нами были получены экспериментально следующие значения времени:

Отсюда вычисляем период :

Логарифмический декремент колебаний:

Коэффициент затухания найдем по точной формуле:

Тогда:

Собственная частота:

Частота колебаний с учетом затухания:

Определим жесткость по экспериментальным данным:

F, H	, 10-5м

По данным из таблицы построим график:

Откуда находим жесткость опор стола:

Зная жесткость опор стола, можно определить массу стола по формуле:

И коэффициент демпфирования:

Исследование вынужденных колебаний системы.

При воздействии на систему силы :

Обозначим: .

Тогда уравнение примет вид:

Воспользуемся при решении данной задачи методом комплексных амплитуд. Для этого умножим полученное уравнение на

Прибавим к нему:

Получим:

Обозначим: . Тогда:

Будем искать частное решение в виде:

Тогда:

При подстановке в наше уравнение, получим:

Откуда:

Амплитуда B:

Поскольку:

То:

Найдем теоретическое значение резонансной частоты:

Откуда:

Найдем:

Где:

И тогда можем записать его в виде:

Далее построим график АЧХ по следующим экспериментально данным:

Экспериментальные значения АЧХ вынужденных колебаний с трением:

Значение амплитуд в метрах было получено после калибровки осциллографа. Для него найдено:

Приведем график сравнения АЧХ, полученной теоретически, с АЧХ, найденной экспериментально:

По графику видно, что аналитическое решение отличается от результатов измерений. Это связано с погрешностью измерений и с тем, что коэффициенты сопротивления, полученные аналитически и на практике, отличаются.

Исследование гасителя колебаний.

Рисунок 4: Механическая модель системы с гасителем

c -суммарная жесткость всех упругих опор, – масса гасителя, – жесткость гасителя, b -коэффициент сопротивления, - коэффициент сопротивления гасителя, – масса стола

Заменим нашу систему на эквивалентную. Она будет состоять из двух масс (массы исследуемого тела и массы демпфера), соединенных двумя пружинами, жесткостями и демпферами с коэффициентами демпфирования . Тогда уравнения для полученной системы будут выглядеть следующим образом:

Так же, как и ранее, будем решать данную задачу методом комплексных амплитуд:

Получим:

Где: .

Будем искать решение в виде: , . Подставим в уравнение и получим:

будем искать по методу Крамера:

Найдем нашей системы - при

И также:

Приравняем определитель к нулю, чтобы найти частоты резонанса: .
Раскрыв его, получим следующее уравнение:

Приравняв действительную и мнимую части к нулю, получим:

Из второго уравнения системы:

Откуда: – частота гашения колебаний

Первое уравнение системы – биквадратное относительно :

Обозначим:

Чтобы подавить резонанс нужно, что бы частота гасителя совпала с частотой колебаний стола:

Пусть:

Тогда наше уравнение примет вид:

Решая это уравнение получим:

Находим:

Откуда:

Тогда:

Поскольку собственная частота: , то находим:

Рассмотрим нашу исходную систему:

Пусть . Тогда:

Подставляя в нашу систему, получим:

По методу Крамера:

Откуда находим:

Теперь учтем трение:

Для системы с трением:

Тогда:

Мы провели эксперимент такой же, как и в случае 2, но добавив гаситель в систему. В данной таблице показаны результаты эксперимента:

Изобразим полученное решение на графике и нанесем на него аналитическое решение. Как видно, получились два новых пика, аналитическое и практическое решения отличаются. Это связано так же с различным значением коэффициента сопротивления и погрешностью измерений.

Графики зависимости модуля амплитуды от частоты

График зависимости модуля амплитуды гасителя от частоты.

Выводы:

Нами в данной работе были исследованы свободные колебания системы с одной степенью свободы. По результатам этих исследования были получены следующие параметры системы: М= 49.09 кг, с=1.56*10⁵ Н/м, b= 236.68 кг/c.

Помимо этого проводилось исследование вынужденных колебаний, а также сравнение графика, полученного из опытных данных, с графиком, полученным аналитически. Отличие в этих графиках и некоторый сдвиг резонансного пика объясняется погрешностью измерений амплитуды колебаний, а также тем, что действительные параметры системы отличаются от параметров, вычисленных экспериментально.

Наконец, исследовалось явление динамического гашения колебаний системы с одной степенью свободы. Графики, полученные аналитически и из опыта, различаются, что также можно объяснить погрешностью в измерениях амплитуды и параметров системы. Качественно же график получен правильно, так как появились два резонанса, а тот резонансный пик, что был для системы без гасителя, исчез; то есть, практически стал равным нулю, что и предсказывает теория в системах с трением.