Задание №2. По 14 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (Д.Е.) от ввода в действие новых основных фондов ( от

По 14 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (Д.Е.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих ().

Таблица 3 – Исходные данные

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 7				6, 3
		3, 7				6, 4
		3, 9				7, 2
		4, 1				7, 5
		4, 2				7, 9
		4, 9				8, 1
		5, 3				8, 4

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

7. Осуществить проверку результатов решения с помощью MS Excel.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу 14.

Таблица 4 – Вспомогательная таблица для расчета недостающих показателей

№
		3, 7		25, 9		33, 3	13, 69
		3, 7		25, 9		40, 7	13, 69
		3, 9		27, 3		42, 9	15, 21
		4, 1		28, 7		61, 5	16, 81
		4, 2		33, 6		71, 4	17, 64
		4, 9		39, 2		93, 1	24, 01
		5, 3		42, 4		100, 7	28, 09
		6, 3		69, 3		138, 6	39, 69
		6, 4		70, 4		140, 8	40, 96
		7, 2		79, 2		165, 6	51, 84
		7, 5				187, 5	56, 25
		7, 9		94, 8		213, 3	62, 41
		8, 1		105, 3			65, 61
		8, 4		109, 2		260, 4	70, 56
Сумма		81, 6		841, 2		1792, 8	516, 46
Ср. знач.	9, 64	5, 83	20, 07	60, 09	208, 29	128, 06	36, 89	447, 93	98, 36

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо воспользоваться формулами:

; ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

Т.е. увеличение основных фондов (от своего среднего значения) и удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0, 79% или 0, 009% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем
фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции указывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 96, 1 % и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

Получили, что (при n=14), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

Найдем и .

Имеем

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

,

Решение задачи MS EXCEL

Записываем исходные данные в таблицу MS Excel:

Рисунок 6 - Лист Excel Исходные данные

Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Данные→ Анализ данных→ Корреляция). Получаем следующий результат (рис. 10).

Рисунок 7 - Лист Excel Матрица парных коэффициентов

Из матрицы парных коэффициентов видно, что r_yx1 = 0, 98; r _yx2= 0, 947; r _x1x2= 0, 965.

С помощью инструмента Регрессия (Данные→ Анализ данных→ Регрессия) получаем следующие результаты (рис.11)

Рисунок 8 - Результаты решения задачи с использованием MS Excel.

Проанализировав результаты решения задачи с помощью MS Excel, делаем вывод, что все ранее проведенные расчеты показателей множественной регрессии совпадают с итогами, полученными в данном решении.