Физический смысл второй производной.

Если – уравнение движения точки по ее траектории, то, как мы знаем, ее производная (производная первого порядка) представляет собой скорость V (X) движения точки (мгновенную скорость движения), но тогда производная второго порядка будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому

– ускорение движения точки в момент X. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.

Пример 17. Как известно, уравнение движения свободно падающего в безвоздушном пространстве тела, начавшего свое падение в момент , имеет вид: (S – путь, пройденный падающим телом за время T). Найдем скорость и ускорение падающего тела:

;

.

То есть ускорение A падающего тела неизменно и равно G – ускорению свободного падения ( м/сек2). А скорость V падающего тела возрастает пропорционально времени по формуле .

Вернемся к записи . Это значит, что в окрестности , где – бесконечно малая. Рассмотрим запись . Она означает, что . Отбрасывая и умножив на получим: Эта простенькая формула содержит в себе великий смысл («все великое просто»). В ней содержится даже некоторое мистическое свойство. Расшифруем , перепишем, получим: Находясь в сегодня Y (X 0) и зная тоже сегодня, можно предсказать, что будет с нами завтра Y (X 0 + D X). На языке математики это означает: не зная самой функции F (X) и таким образом, не имея возможности ее изучать, можно только с помощью двух чисел и и вычислить значения функции в другой точке, близкой к X 0. Применение этой формулы способствовало решению многих физических, практических задач из различных сфер деятельности человека. Произведение получило название дифференциала функции, правда, пришлось заменить D X на Dx (дифференциал X), имея в виду его бесконечную малость. Итак, Def: . Дифференциал есть бесконечно малая величина. Но эта величина содержит в себе огромную информацию о функции. Точно так же капля крови под микроскопом говорит знающему человеку очень много о его здоровье. Для вычисления дифференциала надо знать производную, именно поэтому процедура нахождения производной от функции называется дифференцированием.

1. Производная от постоянной равна нулю: . 2. Постоянную величину можно вынести за знак производной: . Пусть U (X) и V (X) дифференцируемые функции, тогда: 3. Производная от алгебраической суммы двух функций равна алгебраической сумме производных: . Добавляя третье слагаемое, далее четвертое и т. д. можно получить правило по которому надо последовательно дифференцировать все слагаемые, оставляя между ними знаки «+» или «–», как они и стояли. 4. Производная от произведения превращается в сумму двух произведений: . Можно добавить третий множитель, тогда: . 5. Производная частного: . В этих правилах первое свойство следует из определения производной, второе и третье является следствием из свойств пределов. Только четвертое и пятое свойство следует доказывать. С доказательством можно познакомиться в любом учебнике по математическому анализу (для вузов

Это значения производных от элементарных функций. Такие таблицы имеются в любом справочнике по высшей математике. Покажем только на одном примере, как выводятся табличные производные. Пусть , │ разность логарифмов равна логарифму частного │ = │ воспользуемся эквивалентность , если , т. е. при │ . В практической жизни чаще всего приходится иметь дело со сложными функциями, например, , где ; , где и т. д. Поэтому таблицу производных для элементарных функций мы записываем, учитывая их сложность.