Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Волгоград 2011
Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Введение в математический анализ. Производная и ее приложения Методические указания и индивидуальные задания К контрольной работе №2
Волгоград 2011
УДК 517(076.5) Введение в математический анализ. Производная и ее приложения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №2 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, А.П. Поздняков, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2011. — 18 c. Содержатся краткие теоретические сведения, решения типовых примеров, индивидуальные задания. Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех специальностей техники и технологии по дисциплине " Математика". Библиогр. назв. 3
основные теоретические сведения 1. Предел функции 1.1. Основные определения Пусть — функция непрерывного аргумента х и пусть х неограниченно приближается к хо. При этом говорят, что х стремится к хо и пишут . Если х неограниченно возрастает, то говорят, что х стремится к положительной бесконечности и пишут . Если х неограниченно убывает, то говорят, что х стремится к отрицательной бесконечности и пишут . Аргумент функции, изменяющийся таким образом, называют бесконечно большим. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки хо, исключая, быть может, эту точку. Определение 1. Число А называется пределом функции при , если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от числа хо, значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Коротко это записывают так: . Если аргумент функции бесконечно большой, то пишут: или . Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной при , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при . При этом пишут: . Если бесконечно большая функция при принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут соответственно или . Определение 3. Функция называется бесконечно малой величиной при , если . 1.2. Основные теоремы о пределах функций (правила вычисления пределов) Теорема 1. Предел постоянной величины равен этой величине: . (1) Теорема 2. Если при функция бесконечно большая величина, то — бесконечно малая величина; если — бесконечно малая величина, не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности точки хо, то — бесконечно большая величина. Символически это можно записать так: если , то ; если , то . Теорема 3. Пусть существуют конечные пределы и , тогда функции , , также имеют пределы и справедливы формулы: , (2) , (3) , (4) (если В ¹ 0). (5) Замечание 1. Формулы (2) и (3) справедливы для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций. Теорема 4. Если k — любое натуральное число, то (6) Теорема 5 (первый замечательный предел). Функция при имеет предел, равный 1: . (7) Справедливы также формулы: , , . Пример 1. Вычислить Решение. Применяя теоремы о пределах (формулы 1, 2, 4, 6), получим: Пример 2. Найти Решение. Пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю: , . Пользуясь теоремой о пределе частного (формула 5), получаем: Пример 3. Вычислить Решение. По формуле (5) находим Пример 4. Найти Решение. Предел знаменателя равен 0 и применять теорему о пределе частного нельзя. Так как знаменатель есть бесконечно малая величина при , то по теореме 2 обратная величина есть бесконечно большая и Поэтому Пример 5. Найти Решение. Применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен 0, и предел числителя здесь также равен 0. В этом случае говорят о неопределенности вида ( — символическая запись отношения двух бесконечно малых величин) и вычисление предела сводится к раскрытию этой неопределенности. Выполним тождественные преобразования, а именно, числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, то есть перенесем иррациональность в знаменатель. Потом сократим полученную дробь на х и перейдем к пределу: Здесь сокращение на х законно, так как условие предполагает . Пример 6. Найти Решение. Непосредственная подстановка значения х =4 в заданную функцию приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель на произведение и затем сократим дробь на множитель (4- х), полагая х ¹ 4: Пример 7. Найти Решение. Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечных пределов не имеют. В этом случае говорят о неопределенности вида . Для ее раскрытия числитель и знаменатель разделим на х 3, а затем перейдем к пределу: Здесь функции , и являются бесконечно малыми при и их пределы равны 0. Пример 8. Найти Решение. Имеем неопределенность вида . Раскроем ее, используя первый замечательный предел (теорема 5). Для этого преобразуем даное выражение и по формуле 7 получим: 2. Производная 2.1. Понятие производной Определение 4. Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю. Для обозначения производной используют символы , , . Таким образом, по определению . Нахождение производной называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в этой точке. 2.2. Производные основных элементарных функций В любой точке области определения основных элементарных функций справедливы формулы: (xn)¢ = n× xn – 1, в частности ; (8) (ax)¢ = ax × ln a, в частности (ex)¢ = ex; (9) , в частности ; (10) (sin x)¢ = cos x; (11) (cos x)¢ = – sin x; (12) ; (13) ; (14) ; (15) ; (16) ; (17) . (18) 2.3. Правила вычисления производных Пусть функции и дифференцируемы в точке х и С — постоянная величина. Тогда: С¢ = 0; (19) (С∙ U)¢ = С× U ¢; (20) (U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢; (21) (U × V)¢ = V∙ U ¢ + U∙ V ¢; (22) , V ¹ 0. (23) Пример 9. Найти если . Решение. Используя формулы (21, 20, 9, 8) получим: . Пример 10. Найти производную функции . Решение. . Здесь использованы формулы (22, 10, 8). Пример 11. Найти производную функции . Решение. Производную частного находим по формуле (23): . 2.4. Производная сложной функции Если y является функцией от u, а u зависит от x, то y также зависит от x. Пусть , а . Тогда функция называется функцией от функции или сложной функцией переменной х. Переменная u называется промежуточным аргументом, а х — основным. Теорема 6. Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в соответствующей точке u, то сложная функция дифференцируема в точке x и справедлива формула: . Правило дифференцирования сложной функции может быть записано в другой форме: , (24) здесь индексы u и x указывают, по какой переменной берется производная. Пример 12. Найти производную функции . Решение. Данную функцию можно представить в виде , . Найдем ; . Тогда по формуле (24): . Замечание. Если число простейших функций, из которых составлена сложная функция, больше двух, то ее производная вычисляется последовательным применением формулы (24). Пример 13. . Вычислить . Решение. . 2.5. Производная неявной функции Определение 5. Функция называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением , (25) не разрешенным относительно y. Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение (25) продифференцировать по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное уравнение разрешить относительно . Пример 14. Найти производную функции , заданной уравнением . Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х, учитывая, что y есть функция от х: . Из полученного уравнения находим : . 3. Исследование функции с помощью производной 3.1. Возрастание и убывание функций Определение 6. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух значений х 1 и х 2 из этого интервала при х 2 > х 1. Определение 7. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух значений х 1 и х 2 из этого интервала при х 2 > х 1. Интервалы возрастания и убывания функции называются интерваламимонотонности функции. Теорема 7 (Достаточный признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках некоторого интервала выполняется условие , то в этом интервале функция f (x) возрастает, если же во всех точках некоторого интервала , то функция убывает в этом интервале. Замечание. Теорема остается справедливой, если производная обращается в нуль в отдельных точках интервала, не заполняющих никакого отрезка. 3.2. Экстремумы функций Определение 8. Точка х о называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки х о выполняется неравенство . Определение 9. Точка х о называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки х о выполняется неравенство . Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции. Если функция имеет экстремум в точке х о, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Сформулированное условие называется необходимым условием существования экстремума. Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими точками (первого рода). Замечание. Необходимое условие экстремума не является достаточным, так как наличие у функции критической точки вовсе не означает, что функция в этой точке обязательно достигает экстремума. Теорема 8 (достаточный признак существования экстремума). Если х о— критическая точка функции и при переходе через х о производная меняет знак с плюса на минус, то х о является точкой максимума функции, а если с минуса на плюс, то х о — точка минимума. 3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба Определение 10. График функции называется выпуклым в некотором интервале, если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале. Определение 11. График функции называется вогнутым в некотором интервале, если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале. Теорема 9 (достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой). Если во всех точках некоторого интервала , то в этом интервале график функции вогнутый, если , то график функции выпуклый. Определение 12. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба состоит в том, что если М о(x o, y o) — точка перегиба кривой, то вторая производная в точке x o равна нулю или не существует. Точки, в которых равна нулю или не существует называются критическими точками (второго рода). Теорема 10 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть x o — критическая точка второго рода функции . Если при переходе через точку х о вторая производная меняет знак, то точка графика функции с абсциссой х = х о является точкой перегиба. Пример 15. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. Функция определена и непрерывна в интервале . Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную и решим уравнение . Получим х 1=0, х 2=3. Это критические точки. Других критических точек у функции нет, так как производная существует на всей числовой оси. Точки х 1 = 0 и х 2 = 3 разбивают область существования функции на интервалы , , . В каждом из них функция монотонна и производная сохраняет свой знак. Для определения знака производной в каждом интервале выберем точки, например, х = -1, х = 1, х = 5 и найдем , , . По теореме 7 заключаем, что в интервалах и функция возрастает, а в интервале — убывает. Определим точки экстремума. По необходимому условию существования экстремума их следует искать среди критических точек первого рода. При переходе через точку х =0 производная знак не меняет, следовательно, по теореме 8 экстремума в ней нет. При переходе через точку х =3 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно в точке х =3 функция имеет максимум. Вычислим его: . Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого найдем . Полученная производная всюду существует, а в точках х =0 и х =2 обращается в нуль. Это и есть критические точки второго рода. Они разбивают область определения функции на интервалы , , . Возьмем какие-нибудь точки из этих интервалов, например, х =-1, х =1, х =5 и найдем , , . По теореме 9 заключаем, что в интервалах , кривая выпуклая, в интервале — вогнутая. Так как при переходе через точки х =0 и х =2 вторая производная меняет знак, то график функции имеет две точки перегиба с абсциссами х =0 и х =2 (теорема 10). Вычислим и . Следовательно точки (0, 0) и (2, ) — точки перегиба. Точки пересечения кривой с осью O х найдем из уравнения y =0, . Получим х =0 и х =4. По результатам исследования строим график функции (рис.1). Рис.1.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание № 1. Найти пределы функций № 1. а) ; б) ; в) . № 2. а) ; б) ; в) . № 3. а) ; б) ; в) . № 4. а) ; б) ; в) . № 5. а) ; б) ; в) . № 6. а) ; б) ; в) . № 7. а) ; б) ; в) . № 8. а) ; б) ; в) . № 9. а) ; б) ; в) . № 10. а) ; б) ; в) 5 х ctg3 x. № 11. а) ; б) ; в) . № 12. а) ; б) ; в) . № 13. а) ; б) ; в) . № 14. а) ; б) ; в) . № 15. а) ; б) ; в) . № 16. а) ; б) ; в) . № 17. а) ; б) ; в) . № 18. а) ; б) ; в) . № 19. а) ; б) ; в) . № 20. а) ; б) ; в) х ctg3 x. № 21. а) ; б) ; в) . № 22. а) ; б) ; в) . № 23. а) ; б) ; в) . № 24. а) ; б) ; в) . № 25. а) ; б) ; в) . № 26. а) ; б) ; в) . № 27. а) ; б) ; в) . № 28. а) ; б) ; в) . № 29. а) ; б) ; в) . № 30. а) ; б) ; в) .
Задание № 2. Найти производные данных функций № 1. а) у = ; б) у = sin45 x + cos45 x; в) х 2 у – ух = 5. № 2. а) у = ; б) у = (e cos x + 3)2; в) ln(x + y) = xy 2. № 3. а) у = ; б) у =ln sin(2 x + 5); в) х 2 – 6 у + у 3 = 5. № 4. а) у = 2 ; б) у = arctg ex; в) у sin x= cos(x + y). № 5. а) у = ; б) у = 2tg3(x 2+ 1); в) хеу + 1 – у = 0. № 6. а) у = ; б) у = ln2(3 x + 1); в) х – у + arctg y = 0. № 7. а) у = ; б) у = ; в) y ln x – x ln y = 1. № 8. а) у = ; б) у = ; в) х 3 + ху 2 + у 3 = 8. № 9. а) у = ; б) у = arctg tg2 x; в) у 2 – 1 = 2 ху. № 10. а) у = ; б) у = ln4(x 3 + 3); в) y sin x – cos y = 0. № 11. а) у = (1 + )3; б) у = tg2 x + ln cos x; в) еу – ху = 0. № 12. а) у = ; б) у = ln tg ; в) у = sin (x + 2 y). № 13. а) ; б) ; в) х – у + sin y = 0. № 14. а) ; б) ; в) . № 15. а) ; б) у= sin(x + sin x); в) еу + ху = е. № 16. а) ; б) ; в) arctg y = x+ y. № 17. а) ; б) ; в) 10 у = 8 х. № 18. а) ; б) ; в) 2 у ln y = x. № 19. а) ; б) ; в) . № 20. а) ; б) ; в) 2 у = 1 + ху3. № 21. а) ; б) ; в) cos (x + y) = x. № 22. а) ; б) ; в) . № 23. а) ; б) ; в) . № 24. а) ; б) ; в) . № 25. а) ; б) ; в) . № 26. а) ; б) ; в) . № 27. а) ; б) ; в) . № 28. а) ; б) ; в) . № 29. а) ; б) ; в) . № 30. а) ; б) ; в) . Задание № 3. Исследовать функцию и построить её график № 1. у = 1 + 2 х 2 – . № 2. у = х 3 + . № 3. у = 9 х 2 (1 – х). № 4. у = . № 5. у = х 3 + 2 х 2 + 6 х. № 6. у = 2 х 4 – х 2 + 1. № 7. у = . № 8. у = (х 4 – 6 х 2 + 5). № 9. у = х 3 – 3 х 2 + 4. № 10. у = х 4–2 х 2 + 10. № 11. у = (х 3 – 6 х 2 – 36 х + 5). № 12. у = 2 + х 2 – . № 13. у = х 3 – 4 х + 7. № 14. у = (х 3 – 3 х 2 + 4). № 15. у = 2 х 3 – 3 х 2 – 12 х + 11. № 16. у = х 4 – 8 х 3 + 22 х 2 – 24 х. № 17. у = 36 х – 3 х 2 – 2 х 3. № 18. у = х 4 – 8 х 2 – 9. № 19. у = х 3 + 5 х 2 + 9 х – 2. № 20. у = 2 х 3 – 6 х 2– 18 х + 7 № 21. у = х 4 + 4 х 3 – 2 х 2– 12 х + 5 № 22. у = 2 х 3 – 3 х 2. № 23. у = (х – 1)2 (х + 2). № 24. у = 2 х 3 – 6 х 2 – 18 х+ 4. № 25. у = (х 3 – 6 х 2 + 25) № 26. у = х (2 – х)2. № 27. у = х 3 – 5 х 2 + 8 х. № 28. у = . № 29. у = х 2(4 – х)2. № 30. у = х 3 – 12 х 2 + 36 х.
|