![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Волгоград 2011
Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Введение в математический анализ. Производная и ее приложения Методические указания и индивидуальные задания К контрольной работе №2
Волгоград 2011
УДК 517(076.5) Введение в математический анализ. Производная и ее приложения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №2 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, А.П. Поздняков, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2011. — 18 c. Содержатся краткие теоретические сведения, решения типовых примеров, индивидуальные задания. Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех специальностей техники и технологии по дисциплине " Математика". Библиогр. назв. 3
основные теоретические сведения 1. Предел функции 1.1. Основные определения Пусть Если х неограниченно возрастает, то говорят, что х стремится к положительной бесконечности и пишут Пусть функция Определение 1. Число А называется пределом функции
Если аргумент функции
Определение 2. Функция
Если бесконечно большая функция Определение 3. Функция 1.2. Основные теоремы о пределах функций (правила вычисления пределов) Теорема 1. Предел постоянной величины равен этой величине:
Теорема 2. Если при Символически это можно записать так: если если Теорема 3. Пусть существуют конечные пределы
Замечание 1. Формулы (2) и (3) справедливы для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций. Теорема 4. Если k — любое натуральное число, то
Теорема 5 (первый замечательный предел). Функция
Справедливы также формулы:
Пример 1. Вычислить Решение. Применяя теоремы о пределах (формулы 1, 2, 4, 6), получим: Пример 2. Найти Решение. Пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю:
Пользуясь теоремой о пределе частного (формула 5), получаем: Пример 3. Вычислить Решение. По формуле (5) находим Пример 4. Найти Решение. Предел знаменателя равен 0 и применять теорему о пределе частного нельзя. Так как знаменатель есть бесконечно малая величина при Пример 5. Найти Решение. Применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен 0, и предел числителя здесь также равен 0. В этом случае говорят о неопределенности вида Выполним тождественные преобразования, а именно, числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, то есть перенесем иррациональность в знаменатель. Потом сократим полученную дробь на х и перейдем к пределу: Здесь сокращение на х законно, так как условие Пример 6. Найти Решение. Непосредственная подстановка значения х =4 в заданную функцию приводит к неопределенности вида Пример 7. Найти Решение. Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечных пределов не имеют. В этом случае говорят о неопределенности вида Здесь функции Пример 8. Найти Решение. Имеем неопределенность вида 2. Производная 2.1. Понятие производной Определение 4. Производной функции Для обозначения производной используют символы Таким образом, по определению Нахождение производной называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в этой точке. 2.2. Производные основных элементарных функций В любой точке области определения основных элементарных функций справедливы формулы: (xn)¢ = n× xn – 1, в частности (ax)¢ = ax × ln a, в частности (ex)¢ = ex; (9)
(sin x)¢ = cos x; (11) (cos x)¢ = – sin x; (12)
2.3. Правила вычисления производных Пусть функции С¢ = 0; (19) (С∙ U)¢ = С× U ¢; (20) (U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢; (21) (U × V)¢ = V∙ U ¢ + U∙ V ¢; (22)
Пример 9. Найти Решение. Используя формулы (21, 20, 9, 8) получим:
Пример 10. Найти производную функции Решение. Здесь использованы формулы (22, 10, 8). Пример 11. Найти производную функции Решение. Производную частного находим по формуле (23):
2.4. Производная сложной функции Если y является функцией от u, а u зависит от x, то y также зависит от x. Пусть Теорема 6. Если функция
Правило дифференцирования сложной функции может быть записано в другой форме:
здесь индексы u и x указывают, по какой переменной берется производная. Пример 12. Найти производную функции Решение. Данную функцию можно представить в виде
Замечание. Если число простейших функций, из которых составлена сложная функция, больше двух, то ее производная вычисляется последовательным применением формулы (24). Пример 13. Решение. 2.5. Производная неявной функции Определение 5. Функция
не разрешенным относительно y. Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение (25) продифференцировать по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное уравнение разрешить относительно Пример 14. Найти производную функции Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х, учитывая, что y есть функция от х:
Из полученного уравнения находим
3. Исследование функции с помощью производной 3.1. Возрастание и убывание функций Определение 6. Функция Определение 7. Функция Интервалы возрастания и убывания функции называются интерваламимонотонности функции. Теорема 7 (Достаточный признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках некоторого интервала выполняется условие Замечание. Теорема остается справедливой, если производная 3.2. Экстремумы функций Определение 8. Точка х о называется точкой максимума функции Определение 9. Точка х о называется точкой минимума функции Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции. Если функция Точки, в которых производная Замечание. Необходимое условие экстремума не является достаточным, так как наличие у функции критической точки вовсе не означает, что функция в этой точке обязательно достигает экстремума. Теорема 8 (достаточный признак существования экстремума). Если х о— критическая точка функции 3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба Определение 10. График функции Определение 11. График функции Теорема 9 (достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой). Если во всех точках некоторого интервала Определение 12. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба состоит в том, что если М о(x o, y o) — точка перегиба кривой, то вторая производная в точке x o равна нулю или не существует. Точки, в которых Теорема 10 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть x o — критическая точка второго рода функции Пример 15. Исследовать функцию Решение. Функция определена и непрерывна в интервале Точки х 1 = 0 и х 2 = 3 разбивают область существования функции на интервалы Для определения знака производной в каждом интервале выберем точки, например, х = -1, х = 1, х = 5 и найдем Определим точки экстремума. По необходимому условию существования экстремума их следует искать среди критических точек первого рода. При переходе через точку х =0 производная знак не меняет, следовательно, по теореме 8 экстремума в ней нет. При переходе через точку х =3 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно в точке х =3 функция имеет максимум. Вычислим его: Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого найдем Полученная производная всюду существует, а в точках х =0 и х =2 обращается в нуль. Это и есть критические точки второго рода. Они разбивают область определения функции на интервалы Возьмем какие-нибудь точки из этих интервалов, например, х =-1, х =1, х =5 и найдем По теореме 9 заключаем, что в интервалах Так как при переходе через точки х =0 и х =2 вторая производная меняет знак, то график функции имеет две точки перегиба с абсциссами х =0 и х =2 (теорема 10). Вычислим Точки пересечения кривой с осью O х найдем из уравнения y =0, По результатам исследования строим график функции (рис.1). Рис.1.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание № 1. Найти пределы функций № 1. а) № 2. а) № 3. а) № 4. а) № 5. а) № 6. а) № 7. а) № 8. а) № 9. а) № 10. а) № 11. а) № 12. а) № 13. а) № 14. а) № 15. а) № 16. а) № 17. а) № 18. а) № 19. а) № 20. а) № 21. а) № 22. а) № 23. а) № 24. а) № 25. а) № 26. а) № 27. а) № 28. а) № 29. а) № 30. а)
Задание № 2. Найти производные № 1. а) у = № 2. а) у = № 3. а) у = № 4. а) у = 2 № 5. а) у = № 6. а) у = № 7. а) у = № 8. а) у = № 9. а) у = № 10. а) у = № 11. а) у = (1 + № 12. а) у = № 13. а) № 14. а) № 15. а) № 16. а) № 17. а) № 18. а) № 19. а) № 20. а) № 21. а) № 22. а) № 23. а) № 24. а) № 25. а) № 26. а) № 27. а) № 28. а) № 29. а) № 30. а) Задание № 3. Исследовать функцию и построить её график № 1. у = 1 + 2 х 2 – № 2. у = х 3 + № 3. у = 9 х 2 (1 – х). № 4. у = № 5. у = № 6. у = 2 х 4 – х 2 + 1. № 7. у = № 8. у = № 9. у = х 3 – 3 х 2 + 4. № 10. у = х 4–2 х 2 + 10. № 11. у = № 12. у = 2 + х 2 – № 13. у = № 14. у = № 15. у = 2 х 3 – 3 х 2 – 12 х + 11. № 16. у = х 4 – 8 х 3 + 22 х 2 – 24 х. № 17. у = 36 х – 3 х 2 – 2 х 3. № 18. у = х 4 – 8 х 2 – 9. № 19. у = № 20. у = 2 х 3 – 6 х 2– 18 х + 7 № 21. у = х 4 + 4 х 3 – 2 х 2– 12 х + 5 № 22. у = 2 х 3 – 3 х 2. № 23. у = (х – 1)2 (х + 2). № 24. у = 2 х 3 – 6 х 2 – 18 х+ 4. № 25. у = № 26. у = х (2 – х)2. № 27. у = х 3 – 5 х 2 + 8 х. № 28. у = № 29. у = х 2(4 – х)2. № 30. у = х 3 – 12 х 2 + 36 х.
|