Преобразование подобия

Рассмотрим линейное преобразование

y=Ax,

где x и y определяются в n-мерном пространстве с базисом zi. Предположим теперь, что требуется перейти от данного базиса к системе векторов wi. В этом состоит общая проблема преобразования координат. Пусть x и y соответственно переходят в новом базисе в координаты x’ и y’. Так как для zi и wi составляют два базисы в n-мерном пространстве, то должна существовать такая неособенная матрица P, что

Найдем связь между y’ и x’ в новой системе координат. Для этого умножим слева обе части этого уравнения на P и получим Py=Pax. Из уравнения выше следует, что

или

Матрица B, связывающая в новой системе координат x’ и y’, получается из A на основе преобразования подобия.

Преобразования подобия обладают важными свойствами:

1. Если матрица в одном базисе невырождена, то и в другом базисе она будет невырождена.

2. Определители, равно как и следы подобных матриц равны.

4.2. Ортогональное преобразование

Рассмотрим линейное преобразование

x=Qx’, P-1=Q,

где вектор x определяется в ортогональной системе координат. Если новая система координат также ортогональна, то длина вектора x’ в новой системе координат должна совпадать с длиной вектора x в первоначальной системе координат. Следовательно

< x, x> =< x’, x’>.

Выражая это соотношение посредством матрицы Q, имеем

Для этого необходимо, чтобы QT=Q-1.

Следовательно, при переходе от одного ортогонального базиса к другому матрица преобразования Q, ставящая в соответствие вектору в первоначальной системе координат вектор в новой системе координат, должна удовлетворят условию QT=Q-1. Данное преобразование называют ортогональным преобразованием. Матрица Q называется ортогональной матрицей. Ортогональное преобразование является частным случаем преобразования подобия. Оно оставляет неизменными длины и углы.

Из условия QT=Q-1 как следствие вытекает

|QT| |Q| = 1 или |Q| = ±1.

Знак минус в определителе означает, что ортогональное преобразование можно получить путем вращения или отражения. Косинусы углов между осью i' и осями 1, 2, …, n обозначаются соответственно элементами матрицы Q. Эти величины называются направляющими косинусами или направлениями новых осей по отношению к старым.