Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А— попадание, то —промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противо­положные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна единице:

.

Доказательство. Противоположные события об­разуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. § 2).

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противопо­ложных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

Пример 3. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0, 7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» —про­тивоположные, поэтому искомая вероятность

.

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , азатем найти искомую вероятность по формуле

.

Пример 4. В ящике имеется n деталей, из которых mстандарт­ных. Найти вероятность того, что среди kнаудачу извлеченных дета­лей естьхотя бы одна стандартная.

Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стан­дартной»—противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе —через .

Очевидно,

Найдем Р(). Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей на n деталей, равно . Число нестандартных деталей равно n-m; из этого числа деталей можно способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлечённых деталей нет ни одной стандартной, равна .

Искомая вероятность