Мета: Набуття практичних навиків розрахунку лінійних електричних кіл та аналізу перехідних процесів в них.

АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ НАСТАНОВИ

ДО КОМПЛЕКСНОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

для студентів базового напрямку

6.1601 „Інформаційна безпека”

Затверджено

на засіданні кафедри теоретичної

та загальної електротехніки

протокол № від ..2007 р.

Львів – 2007

Завдання та методичні настанови з дисципліни “Теорія електричних кіл ” для студентів базового напряму „Інформаційна безпека”/ Укл. Гамола О.Є., Соколовський М.О. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка” 2007, – __ с.

Укладачі Гамола О.Є., канд.техн.наук, доц.,

Соколовський М.О. канд.техн.наук, доц.

Відповідальний за випуск Стахів П.Г., д-р техн. наук, проф.

Рецензенти Пеленський Р.А., д-р, техн.наук, проф.

АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

Мета: Набуття практичних навиків розрахунку лінійних електричних кіл та аналізу перехідних процесів в них.

В завданні до комплексної розрахункової роботи (КРР) подано варіантів. Варіант завдання видається викладачем. Результати виконання КРР оформляють у вигляді пояснювальної записки, що має титульний лист, де вказують назви міністерства, університету, кафедри, тему курсової роботи, назву дисципліни, хто виконав роботу: спеціальність, група, ПІБ студента, хто прийняв: посада та ПІБ викладача. Пояснювальну записку та титульний лист оформляють на аркушах паперу формату 297х210 (А4).

Матеріал пояснювальної записки рекомендується викладати послідовно згідно з виданим завданням. В тексті записки формули подаються в загальному вигляді і лише потім в них підставляють числові значення. Графічний матеріал записки (схеми, графіки тощо), рекомендується виконувати на міліметровому папері формату А4. Його розташовують у місцях відповідного текстового матеріалу. До рисунків роблять підписи з тематичною назвою. В кінці пояснювальної записки приводять список використаної літератури.

Задача 1. Для заданого лінійного електричного кола (табл. 1, рис. 1–33) з джерелами змінної напруги та струму частотою f =50 Гц:

1. Записати систему рівнянь за методом контурних струмів та обчислити коефіцієнти цієї системи лінійних алгебричних рівнянь.

2. Записати систему рівнянь за методом вузлових напруг та обчислити коефіцієнти цієї системи лінійних алгебричних рівнянь.

3. Сформувати відповідні матриці та записати матричне рівняння методу контурних струмів.

4. Розв’язати матричне рівняння методу контурних струмів в середовищі MATLAB та визначити струми віток електричного кола.

5. Сформувати відповідні матриці та записати матричне рівняння методу вузлових напруг.

6. Розв’язати матричне рівняння методу вузлових напруг в середовищі MATLAB та визначити струми віток електричного кола.

7. Скласти рівняння балансу потужностей.

Задача 2. В заданому електричному колі (табл. 2, рис. 34–93) відбувається комутація. Параметри кола подано в табл. 2. Потрібно:

1. Визначити перехідну величину (струм або напругу), вказану в табл. 2, після комутації класичним методом при дії джерела постійної напруги або джерела постійного струму.

2. За отриманим аналітичним виразом побудувати графік перехідної величини в інтервалі часу від t = 0до t =5/|l|. На графіках показати окремо вільну та вимушену складові перехідної величини. Ліворуч від осі ординат зобразити шукану величину до комутації.

6. За допомогою чисельного методу розрахувати і побудувати шукану перехідну величину для заданого електричного кола.

МЕТОДИЧНІ НАСТАНОВИ

Аналіз усталеного режиму лінійних електричних кіл здійснюється переважно методом контурних струмів або методом вузлових напруг.

Система рівнянь за методом контурних струмів має такий вигляд:

;

;

¼ ¼ ¼ ¼ ¼; (1)

;

де N=p-(q- 1 ) – кількість незалежних (головних) контурів; p – кількість віток електричного кола (без віток з джерелами струму); q – кількість вузлів електричного кола; Z ₁₁, ¼ Z _NN – власні опори контурів; Z ₁₂, ¼ Z _{N -1 N} – спільні опори контурів N -1 і N; І _{K 1}, ¼ I _KN – комплексні діючі значення контурних струмів; Е _{K 1}, ¼ Е _KN – комплексні діючі значення контурних ЕРС.

За методом вузлових напруг записується така система рівнянь:

;

;

¼ ¼ ¼ ¼ ¼; (2)

;

де Q=q- 1 – кількість незалежних вузлів; Y ₁₁, ¼ Y _QQ – власні вузлові провідності; Y ₁₂, ¼ Y _{Q -1 Q} – спільні вузлові провідності вузлів Q -1 і Q; U _{1 0}, ¼ U _Q0 – комплексні діючі значення вузлових напруг (відносно базового); I ₁₁, ¼ I _QQ – комплексні діючі значення вузлових струмів.

Матричне рівняння методу контурних струмів

; (3)

де – контурна матриця; – матриця повних опорів віток електричного кола; –матриця-стовпець контурних струмів; –матриця-стовпець ЕРС джерел напруг; –матриця-стовпець струмів джерел струмів.

Рівняння методу вузлових напруг у матричній формі має вигляд:

; (4)

де – вузлова матриця (матриця інциденцій); – матриця повних провідностей віток електричного кола; –матриця-стовпець вузлових напруг (відносно базового); –матриця-стовпець ЕРС джерел напруг; –матриця-стовпець струмів джерел струмів.

Розглянемо як записуються рівняння за цими методами і як формуються відповідні матриці на такому прикладі.

Приклад 1. На рис.1 подано схему електричного кола з такими параметрами: R ₁=10 Ом; R ₂=5 Ом; X _L1=10 Ом; X _L2=5 Ом; X _C=10 Ом; e₁ =50Ö 2sin(314t+45°) В; j₅ =2Ö 2sin(314t) А.

Рис.1 Схема електричного кола

Проведемо аналіз електричного кола методом контурних струмів.

Визначаємо: кількість віток (без джерел струму ДС) p =4; кількість вузлів q =3; кількість незалежних контурів N = p -(q -1)=2. Струм контура, утвореного віткою з ДС є відомим . Цей контур показує шлях замикання струму ДС.

Запишемо систему рівнянь за методом контурних струмів:

Рис. 2. Схема електричного кола для методу контурних струмів

; (5)

;

де ; ; ; Ом; Ом;

Ом; Ом; Ом; Ом

Ом; В; В.

Сформуємо необхідні матриці для запису матричного рівняння контурних струмів на підставі графа заданого електричного кола (рис. 5). Під час формування контурної матриці дотримуємося правила: +1 записуємо в клітинках, утворених перетином рядка k і стовця p, якщо напрям обходу контура k і напрям вітки p збігаються; –1 – якщо напрям обходу контура k і напрям вітки p не збігаються; 0 – якщо вітка p не належить контуру k. В матриці-стовпці ЕРС джерел напруг записуємо + Е _p, якщо напрям вітки і напрям ЕРС в цій вітці збігаються; – Е _p, якщо напрям вітки і напрям ЕРС в цій вітці не збігаються; 0 – ЕРС в даній вітці відсутня. Аналогічно формується матриця-стовпець струмів ДС: + J _i – записуємо в рядку p, якщо вітка p входить в контур утворений ДС і напрям обходу цього контура й напрям вітки p збігаються; – J _i – записуємо в рядку p, якщо вітка p входить в контур утворений ДС і напрям обходу цього контура й напрям вітки p не збігаються; 0 – в рядку p, якщо вітка p не входить в контур ДС.

Рис. 5. Граф електричного кола для формування матриць , ; .

На підставі цього записуємо відповідні матриці з врахуванням того, що контур ДС замикається через вітки 3 і 4

; ; (6)

; ;

Далі формуємо m-файл для розв’язку матричного рівняння методу контурних струмів в середовищі MATLAB

loop_currenst_method.m

G=[1 1 0 1; 0 -1 1 0] % контурна матриця

Z1=10+i*10 % елемент матриці Z

Z2=i*5 % – // –

Z3=-i*10 % – // –

Z4=5 % – // –

E1=50+i*50 % елемент матриці Е

J5=2 % елемент матриці J

Z=[Z1 0. 0. 0.; 0. Z2 0. 0.; 0. 0. Z3 0.; 0. 0. 0. Z4] % матриця опорів віток

E=[E1; 0.; 0.; 0.] % матриця ЕРС ДН

J=[0.; 0.; J5; J5] % матриця струмів ДС

ZG=Z*G’

ZV=G*ZG % матриця контурних опорів

ZJ=Z*J

EZJ=E-ZJ

B=G*EZJ

X=ZV\B % матриця контурних струмів

IV=G’*X+J % матриця струмів віток

IVS=conj(IV)

UJ=Z3*IV(3)

JS=conj(J1)

SKP=E1*IVS(1)+UJ*JS

SKS=Z1*IV(1)*IVS(1)+Z2*IV(2)*IVS(2)+Z3*IV(3)*IVS(3)

Під час розрахунку отримано такі результати

; ;

Проведемо аналіз електричного кола методом вузлових напруг:

Кількість незалежних рівнянь за цим методом Q = q– 1=2. За базовий вибираємо вузол “0”. Запишемо систему рівнянь за методом вузлових напруг

; (7)

;

де ; ; ; См; ; ; ; ; ; ;

; .

Рис. 6. Схема електричного кола для формування матриць , ; .

Сформуємо необхідні матриці для запису матричного рівняння вузлових напруг на підставі графа заданого електричного кола (рис. 6). Під час формування вузлової матриці дотримуємося правила: +1 записуємо в клітинках, утворених перетином рядка q і стовця p, якщо вітка p спрямована від вузла q; –1 – якщо вітка p спрямована до вузла q; 0 – якщо вітка p не належить до вузла q. Матриці-стовпці ЕРС та ДС формуються аналогічно як у методі контурних струмів.

Рис. 7. Граф електричного кола для методу вузлових напруг

На підставі цього записуємо відповідні матриці методу вузлових напруг

; ; (8)

; ;

Далі формуємо m-файл для розв’язку матричного рівняння методу вузлових напруг в середовищі MATLAB

nodal_voltage_method.m

P=[-1 1 1 0; 0 -1 -1 1] % вузлова матриця

Y1=0.05-i*0.05 % елемент матриці Y

Y2=-i*0.2 % – // –

Y3=i*0.1 % – // –

Y4=0.2 % – // –

E1=50+i*50 % елемент матриці Е

J5=2. % елемент матриці J

Y=[Y1 0. 0. 0.; 0. Y2 0. 0.; 0. 0. Y3 0.; 0. 0. 0. Y4] % матриця провідностей віток

V=[E1; 0.; 0.; 0.] % матриця ЕРС ДН

C=[0.; 0.; J5; J5] % матриця струмів ДС

YP=Y*P'

A=P*YP % матриця вузлових провідностей

YV=Y*V

CYV=C-YV

B=P*CYV

X=A\B % матриця вузлових напруг

IV=Y*(P'*X+V) % матриця струмів віток

Під час розрахунку отримано такі результати

; ;

Аналіз перехідного процесу лінійного електричного кола відповідно з умовою задачі 2 проведемо класичним методом.

Класичний метод аналізу перехідного процесу лінійного електричного кола полягає в знаходженні розв’язку лінійного неоднорідного диференційного рівняння , як суми часткового розв’язку лінійного неоднорідного диференційного рівняння – вимушеної складової перехідної величини і загального розв’язку лінійного однорідного диференційного рівняння – вільної складової перехідної величини

. (9)

Перехідними величинами, щодо яких формуються диференційні рівняння, є струм i _l у вітці з котушкою індуктивності та напруга u _c на конденсаторі

, (10)

для яких початкові умови визначаються за 1-им та 2-им законами комутації відповідно

. (11)

Розрахунок перехідного процесу класичним методом проводимо за алгоритмом, поданим блок схемою.

Чисельні методи аналізу перехідного процесу в лінійному електричному колі передбачають інтегрування диференційних рівнянь, складених методом змінних стану, у формі Коші . Для отримання єдиного розв’язку систему диференційних рівнянь необхідно доповнити початковими умовами . Суть чисельних методів аналізу полягає у послідовному обчисленні наближених значень вектор-функції на множині точок аргументу в інтервалі [a, b] визначення вектора-функції при з кроком . Відомі різноманітні методи чисельного розв’язку рівнянь у формі Коші. Наприклад, рекурентна формула для однокрокового методу Рунге-Кутта другого порядку

, (12)

де ; ,

чи однокрокового неявного методу Ейлера

, (13)

для реалізації якого застосовують метод Ньютона на (l +1)-му кроці

; (14)

, (15)

де

; . (16)

Для здійснення ітерації за (16) на кожному кроці необхідно мати нульове наближення , яке може бути обчислено на основі явної формули Ейлера

. (17)

Розглянемо приклад розрахунку перехідного процесу електричного кола.

Приклад 2. Для заданого електричного кола (рис. 8) визначити струми у вітках після комутації. Е =50 В; R ₁=5 Ом; R ₂=8 Ом; R ₃=10 Ом; L =100 мГн; С =200 мкФ.

Рис. 8. Схема електричного кола

Розрахуємо задачу класичним методом.

1. Сформуємо диференційне рівняння щодо струму i _L заданого електричного кола на підставі законів Кірхгофа та рівнянь елементів:

Система рівнянь за законами Кірхгофа

i ₁– i ₂– i _l=0,

u _r1+ u _r2= E (18)

u _r2– u _l– u _r3=0

Рівняння елементів

u _r1= R ₁ i ₁, u _r2= R ₂ i ₂, u _r3= R ₃ i _l, u _l= Ldi _l /dt, (19)

Після відповідних перетворень отримаємо диференційне рівняння щодо перехідного струму i _l

Ldi _l /dt+(R ₁ R ₂ +R ₁ R ₃ +R ₂ R ₃ )/(R ₁ +R ₂ )i _l =ER ₂ /(R ₁ +R ₂ ). (20)

Визначаємо незалежну початкову умову i _l(0). Для цього необхідно розрахувати усталений режим кола до комутації з врахування того, що опір котушки в колі постійного струму в усталеному режимі дорівнює нулю (рис.9).

Оскільки вітка з R ₂ замкнута накоротко, то i ₁(0_-)= i _L(0_-)= E/R ₁=50/5=10А. На підставі 1-го закону комутації отримуємо

i _L(0)= i _L(0_-)=10 A.

Рис. 9. Схема електричного кола для усталеного режиму до комутації

2. Визначаємо вимушену складову струму i_lвим. Для цього необхідно розрахувати усталений режим кола після комутації з урахуванням того, що опір котушки в колі постійного струму в усталеному режимі дорівнює нулю (рис. 10). Вимушену складову струму i _lвим можна також отримати з диференційного рівняння (20) стану електричного кола після комутації, враховуючи, що в усталеному режимі di _lвим /dt =0.

i _lвим= ER ₂ / (R ₁ R ₂ +R ₁ R ₃+ R ₂ R ₃)=50× 8/(5× 8+5× 10+8× 10)=2, 35 A,

Рис. 9. Схема електричного кола для усталеного режиму після комутації

3. Визначаємо вільну складову струму i_lвіл Для цього спочатку сформуємо характеристичне рівняння.

3.1. Характеристичне рівняння може бути сформовано декількома способами. Для заданого кола розглянемо два способи: шляхом запису вхідного опору кола після комутації щодо будь-якої розімкненої вітки змінному струму (рис. 10); шляхом алгебризації () диференційного однорідного рівняння.

Запишемо вхідний опір кола змінному струму (рис. 10) . Перейдемо до змінної і отримаємо характеристичне рівняння . (21)

Запишемо диференційне однорідне рівняння щодо вільної складової перехідної величин , . Алгебризуємо цю систему рівнянь

Визначаємо корінь характеристичного рівняння

,

с^-1.

Рис. 10. Схема для визначення вхідного опору кола

На підставі кореня характеристичного рівняння вільну складову перехідної величини i _Lвіл шукатимемо у такому вигляді

, (22)

3.3. Визначаємо сталу інтегрування. Для цього запишемо рівняння для вільної складової перехідної величини i _Lвіл на момент часу t =0:

.(23)

Значення величини i _Lвіл(0) знаходимо з рівняння

А.

Звідки А ₁=7, 65 А.

Отже, перехідна величина i _l описується таким виразом:

. (24)

Решту перехідних величин знаходимо з рівнянь елементів та рівнянь за законами Кірхгофа:

i ₁– i ₂– i _l=0,

R ₂ i ₂– Ldi _l /dt – R ₃ i _l=0,

звідки

. (20)

Рис. 11. Часова діаграма перехідного струму i_l

Для розрахунку перехідного процесу чисельним методом запишемо диференційне рівняння щодо змінної стану i _L (20) у формі Коші:

Обчислимо перехідний струм чисельним однокроковим методом Рунге-Кутта другого порядку за його рекурентною формулою

, (12)

де ; ; ;

Далі формуємо m-файл для розрахунку перехідного процесу чисельним методом в середовищі MATLAB

dtk=1e-4

t(1)=0.

t2=0.

R1=5

R2=8

R3=10

L=0.1

E=50

R123=R1*R2+R1*R3+R2*R3

R12=R1+R2

LR=1/(L*R12)

ilk=10.

ilk1(1)=10.

for i=2: 400

k1k=dtk*LR*(-R123*ilk+E*R2)

k2k=dtk*LR*(-R123*(ilk+k1k)+E*R2)

ilk=ilk+(k1k+k2k)/2

ilk1(i)=ilk

t2=t2+dtk

t(i)=t(i-1)+dtk

i=i+1

end

plot(t, ilk1, '-k', 'LineWidth', 2), 'FontSize', 14

xlabel('time t', 'FontSize', 14);

ylabel('current il', 'FontSize', 14);

grid on

Рис. 12. Часова діаграма перехідного струму i_L, отримана чисельним методом

Таблиця 1

Таблиця 2