Арифметика с плавающей точкой

Во-первых, что такое плавающая точка? Возьмем, к примеру, карманный калькулятор и посмотрим, как высвечивается результат на его индикаторе после ввода очередного значения:

Десятичная точка «плавает» по индикатору по мере необходимости. Такой индикатор называется индикатором с плавающей точкой. Представление с плавающей точкой - это способ записи чисел в компьютере в виде мантиссы и порядка. Например, 12 млн. можно записать как 12*10⁶, поскольку 10⁶=1000000. Во многих компьютерах 12 млн. должно быть записано в виде двух чисел 12 и 6, что воспринимается как 10⁶, умноженное на 12. Число 3.345 будет записано так: 3345 и -3.

Идея представления чисел в форме с плавающей точкой состоит в том, чтобы компьютер мог представить необозримо большой диапазон чисел - от мизерных до астрономических - двумя сравнительно небольшими числами.

Представление с фиксированной точкой - другой способ записи чисел в память, при котором положение десятичной точки числа не запоминается. Например, при вводе суммы в долларах и центах все значения должны запоминаться в центах, а расположение десятичной точки должно «помнить» не само число, а программа.

Сравним для иллюстрации три представления чисел: общепринятое, с фиксированной точкой и с плавающей точкой:

ОБЩЕПРИНЯТОЕ С ФИКСИРОВАННОЙ С ПЛАВАЮЩЕЙ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТОЧКОЙ ТОЧКОЙ

1.23 123 123(-2)

10.98 1098 1098(-2)

100.00 10000 1 (2)

58.60 5860 586(-1)

Как видите, в представлении с фиксированной точкой все значения следуют одному шаблону. Компьютер в этом случае интерпретирует все числа как целые. Программа, прежде чем выдать ответ на экран терминала или алфавитно-цифровое печатающее устройство, вставляет десятичную точку после двух цифр справа

особые случаи представления вещественных чисел

• нуль - это такое число, у которого порядок и мантисса равны нулю. Нуль может иметь положительный или отрицательный знаки, которые игнорируются в операциях сравнения. Таким образом, имеется два нуля - положительный и отрицательный;

• наименьшее положительное число - это число, которое имеет нулевой знаковый бит, значение порядка, равное 1, и значение мантиссы, равное нулю. В зависимости от представления наименьшее положительное число имеет следующие значения: 1, 17*10^-38 (одинарная точность), 2.23*10^-308 (двойная точность), 3.37*10^-4932 (расширенная точность);

• наибольшее отрицательное число - полностью совпадает с наименьшим положительным числом, но имеет бит знака, установленный в 1;

• наибольшее положительное число - это число, которое имеет нулевой знаковый бит, поле порядка, в котором все биты кроме самого младшего, равны 1, и содержит единицы во всех разрядах мантиссы. В зависимости от представления наибольшее положительное число имеет следующие значения: 3.37*10³⁸ (одинарная точность), 1.67*10³⁰⁸ (двойная точность), 1.2*10⁴⁹³² (расширенная точность);

• наименьшее отрицательное число - полностью совпадает с наибольшим положительным числом, но имеет бит знака, установленный в 1;

• положительная и отрицательная бесконечность - это число содержит все единицы в поле порядка и все нули в поле мантиссы. В зависимости от состояния знакового бита может быть положительная и отрицательная бесконечности. Бесконечность может получиться, например, как результат деления конечного числа на нуль;

• нечисло - содержит все единицы в поле порядка и любое значение в поле мантиссы. Нечисло может возникнуть в результате выполнения неправильной операции при замаскированных особых случаях (ошибкам при работе с сопроцессоре будет посвящен отдельный раздел этой главы);

• неопределенность - содержит в поле порядка все единицы, а в поле мантиссы - число 1000..0 (для одинарной и двойной точности) или 11000..0 (для расширенной точности, так как в этом формате хранится старший бит мантиссы).

Билет