ТЕМА 2. Определители и правило Крамера

1. Что такое определитель?

2. Как вычисляются определители 2-го порядка?

3. Доказать, что для равенства нулю определителя 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны. То же верно и для столбцов.

4. Как решаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при помощи определителей (по правилу Крамера)?

5. Как вычисляются определители 3-го порядка?

6. Как решаются системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей (по правилу Крамера)?

7. Что такое минор и алгебраическое дополнение?

8. Сформулируйте основную теорему теории определителей (теорему о разложении определителя по строке или столбцу).

9. Приведите формулу полного разложения определителя по элементам матрицы. Прокомментируйте эту формулу.

10. Справедливо ли утверждение , даже если .

11. Сформулируйте свойства определителей, с помощью которых можно вычислять определители.

12. Какие преобразования матрицы называются элементарными? Как изменяется определитель матрицы при таких преобразованиях?

13. Пусть det A ¹ 0. Доказать, что применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие определитель, можно получить: а) треугольную матрицу; б) диагональную матрицу.

14. Сформулируйте теорему Крамера.