Зависимость между упругими константами.

Перейдем к определению потенциальной энергии упругой деформации в общем случае напряженного состояния. Накопленная в элементарном параллелепипеде, она определяется суммой работ сил, действующих на поверхности элемента. Так, например, нормальная сила σ _xdydz (рис. 4.9) совершает работу на перемещении ε _xdx, равную

где под ε _x понимается относительное удлинение вдоль оси x, вызванное всеми действующими силами на элемент.

Аналогичные выражения получим от действия других нормальных, а также касательных сил на соответствующих перемещениях. В итоге можем написать

Относя это выражение к единице объема dV = dxdydz, получим п л о т н о с т ь потенциальной энергии

Выражая деформации ε и γ через напряжения σ и τ в соответствии с законом Гука (4.42) и (4.43), получим

или в главных напряжениях

Потенциальная энергия деформации во всем теле, очевидно, будет равна

Здесь интегрирование, естественно, берется по объему тела.

Плотность потенциальной энергии можно представить в виде суммы э н е р г и и и з м е н е н и я ф о р м ы - u_ф и э н е р г и и и з м е н е н и я о б ъ е м а - u_о

Их выражения потребуются вопросов, связанных с теорией предельных напряженных состояний.

Рис. 4.11.

В соответствии с рис. 4.11, каждое из главных напряжений можно представить в виде суммы двух величин

в результате чего напряженное состояние элемента разбивается на два. Эта операция называется р а з л о ж е н и е м т е н з о р а н а п р я ж е н и й, записанного в главных осях, на составляющие: шаровой тензор и тензор-девиатор.

Первое слагаемое в (4.55) представляет собой всестороннее растяжение, а второе – является дополнительным к нему до заданного напряжения. (Шаровой тензор напряжений соответствует равномерному всестороннему растяжению или сжатию; девиатор напряжений характеризует отклонение данного напряженного состояния от состояния всестороннего растяжения или сжатия).

Величину р определяют из условия равенства нулю изменения объема в дополнительном напряженном состоянии (см. 4.46)

откуда получают

При таком значении напряжения р система сил одного напряженного состояния не производит работу на перемещениях, вызванных силами другого напряженного состояния. Взаимные работы отсутствуют, и плотность потенциальной энергии раскладывается на э н е р г и ю и з м е н е н и я о б ъ е м а - u_о и э н е р г и ю ф о р м о и з м е н е н и я - u_ф.

Подставляя в общее выражение (4.51) вместо всех главных напряжений величину р (4.56), получим плотность потенциальной энергии изменения объема

Плотность энергии формоизменения u_ф получим в соответствии с формулой (4.53). После преобразований

Если это выражение написать через компоненты тензора напряжений в произвольных осях, то в соответствии с (4.50) будем иметь

Как видим, последнее выражение не требует предварительного определения главных напряжений.

Зная выражение плотности потенциальной энергии, можно наиболее просто установить з а в и с и м о с т ь м е ж д у у п р у г и м и к о н с т а н т а м и м а т е р и а л а Е, G и μ.

Как уже ранее отмечалось, при чистом сдвиге (рис. 4.7) σ ₁=+τ, σ ₂=0, σ ₃=-τ. Поэтому, с одной стороны, плотность потенциальной энергии можно записать в соответствии с формулой (4.50)

а, с другой стороны, - в соответствии с формулой (4.51)

Из равенства этих выражений получим

Следовательно, зная величины двух упругих констант, можно найти третью константу. Так, например, для стали с модулем упругости E=2·10⁵ МПа и коэффициентом Пуассона μ =0, 25 модуль сдвига G=0, 8·10⁵ МПа.