Типы напряженных состояний. Круги напряжений

Как уэе отмечалось, из уравнения (4.18) получают три корня. Если все они отличны от нуля

напряженное состояние называется о б ъ е м н ы м (трехосным). Если один из корней равен нулю, а два других отличны от нуля

напряженное состояние называется п л о с к и м (двухосным). И, наконец, если два корня равны нулю, а третий отличен от нуля

напряженное состояние в точке тела называется л и н е й н ы м (одноосным).

Из анализа уравнения (4.18) следует, что объемное напряженное состояние будет возникать в тех случаях, когда I₃ ≠ 0. В противном случае напряженное состояние будет плоским. Действительно, при I₃ = 0 из уравнения (4.18) следует

откуда

В тех случаях, когда I₂ = I₃ = 0, напряженное состояние будет линейным. Из (4.18) следует

откуда

Как будет доказано ниже, объемное напряженное состояние в точках бруса невозможно. Наиболее общим будет плоское напряженное состояние. К его изучению мы и переходим.

Рассмотрим случаи напряженного состояния в точке тела, при котором I₃ = 0. Первый случай соответствует тензору напряжений, в котором один столбец матрицы является нулевым

Здесь согласно (4.19)-(4.21)

Подставляя это выражение в (4.25), после приведения подобных членов под корнем получим:

Прежде чем рассматривать второй случай, докажем, что при принятых гипотезах объемное напряженное состояние в точках бруса возникать не может. Отметим, что это положение в учебниках обычно не анализируется и не освещается. А доказательство сказанного весьма просто и кратко. Так как в соответствии с принятыми гипотезами бруса (2.1) и (2.3) σ _x = σ _y= 0 и τ _xy = 0, то тензор напряжений имеет вид

Следовательно, после раскрытия определителя (4.21) получим

I₃ = 0, что и требовалось доказать.

В этом случае

Следовательно, корни σ ´ и σ ´ ´ определятся из формулы

Отметим, что касательные напряжения τ _xz и τ _zx, действующие в плоскости с нормалью z, можно привести к одному вектору τ _tz. При этом очевидно ..

Так как второе слагаемое в (4.33) всегда положительно, выражения главных напряжений имеют вид:

Полученным формулам (4.30) и (4.34) можно дать геометрическое толкование в виде так называемых к р у г о в н а п р я ж е н и й

М о р а. Покажем, как строятся круги Мора для плоского напряженного состояния. Для общности рассуждений рассмотрим первый случай.

Пусть напряженное состояние в исследуемой точке соответствует рисунку 4.5, а (заштрихованная часть элемента представляет собой главную площадку). Здесь напряжения σ _x, σ _y и τ _xy приняты положительными.

Рис. 4.5.

Согласно формуле (4.30) на оси σ (рис. 4.5, б) откладывают величины напряжений σ _x и σ _y в виде отрезков OA и OB соответственно. Затем определяют положение центра круга – точку C. Для этого отрезок AB делят пополам, что соответствует OC =0, 5(OA + OB). Далее из точки B откладывают в виде отрезка BD величину касательного напряжения τ _xy. Точки C и D соединяют отрезком и получают радиус круга CD. Им описывают окружность, которая пересекает ось σ в точках M и N. Нетрудно заметить, что радиус круга равен второму слагаемому в (4.30), а отрезки OM и ON соответствуют величинам σ ´ и σ ´ ´.

Круги Мора позволяют не только получить графические значения главных напряжений, действующих в плоскости xy, но и определить их направления. Для этого из точки D, называемый п о л ю с о м, проводят лучи DM и DN, которые и являются нормалями к главным площадкам. На рис. 4.5, в изображен рассматриваемый элемент, повернутый относительно оси z.

Как следует из рассмотрения круга, экстремальные касательные напряжения (CK и CL) равны радиусу круга

Проведя из полюса D два луча через точки K и L, получим нормали к площадкам с экстремальными касательными напряжениями. Как видим, эти площадки расположены под углом 45⁰ к главным площадкам.

На рис. 4.6, а, б представлен круг Мора для второго типа напряженного состояния. Порядок построения круга тот же.

Из этого круга видно, что получаемые главные напряжения в точках бруса будут обязательно иметь разные знаки (рис. 4.6, в).

Рассмотрим особый вид плоского напряженного состояния, называемый ч и с т ы м с д в и г о м. Он возникает в тех случаях,

Рис. 4.6.

когда по граням элемента действуют только касательные напряжения (рис. 4.7, а-в).

Рис. 4.7.

Как видим, в этом случае главные напряжения по величине имеют следующие значения:

А теперь рассмотрим некоторые положения, связанные с объемным напряженным состоянием, которые испытывают точки различных деталей машин.

В соответствии с полученными главными напряжениями σ _x, σ ₂ и σ ₃ строят так называемый тройной круг Мора. На рис. 4.8. построен такой круг, соответствующий трехосному растяжению.

Рис. 4.8.

Из рассмотрения рис. 4.8 следует, что в каждой плоскости есть наибольшее касательное напряжение, но одно из них будет больше двух других. Это напряжение («максимум максиморум») равно

Следует подчеркнуть, что это выражение относится не только к объемному, но и к остальным типам напряженного состояния. Так, например, в случае плоского напряженного состояния (см. рис. 4.5, б) максимальное касательное напряжение в п л о с к о с т и xy равно , а касательное напряжение в п р о с т р а н с т в е равно , что, естественно, больше.