Начальные сведения о множествах

Одним из основных исходных понятий математики является понятие множества и его элементов. Основатель теории множеств Кантор дал такую трактовку: " Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью".

Понятие множества как и любое другое исходное понятие не имеет строгого математически точного описания. Можно дать следующее определение.

" Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет."

Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества - большими. Принадлежность элемента множеству обозначается так: , где знак является стилизацией первой буквы греческого слова (есть, быть), знак непринадлежности - .

Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается . Например:

- множество студентов потока 99ПС - конечное множество;

- множество звезд во Вселенной - бесконечное множество;

- множество студентов потока 98СП, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.

Множество называют подмножеством множества (обозначается ), если всякий элемент множества является элементом множества : (рис. 1.1).

Рис. 1.1.

При этом говорят, что содержит , или покрывает . Невключение подмножества в множество обозначается так: .

Множества и равны () тогда и только тогда, когда , и , т. е. элементы множеств и совпадают.

Множество называется собственным подмножеством множества , если , а . Обозначается так: .

Например: .

Мощностью конечного множества называется число его элементов. Обозначается . Например, , .

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества. Множество может обладать иерархической структурой. В этом случае говорят о семействе множества или булеане.

Семейством множества или булеаном является множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества .

Например,

В общем случае мощность булеана .

Универсальным множеством называется множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.