КАТЕГОРИИ:

Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Чисельні коефіцієнти 4 страница. різниці другого порядку:

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

різниці другого порядку:

;

різниці k -го порядку:

. (12)

Справедлива рівність

. (13)

Роздільним різницею є симетрична функція своїх аргументів.

Якщо вузли таблиці х_і розміщені на рівних відстанях: ; ; – відповідні значення функції, то роздільні різниці типу (12) називаються кінцевими різницями k -го порядку:

(14)

кінцеві різниці вперед;

(15)

кінцеві різниці назад k -го порядку.

Кінцеві різниці назад k -го порядку виражаються через значення функції за формулою:

. (16)

При справедлива рівність:

. (17)

Інтерполяційні формули Ньютона. Для інтерполяційного полінома Лагранжа справедлива рівність (з врахуванням (13) роздільних відмінків):

. (18)

Запишемо у вигляді:

. (19)

Так як

при ,

то .

Припустимо , отримаємо:

Припустимо в (6.18) і , маємо:

Внаслідок,

і .

Підставимо ці величини в (6.19):

. (20)

Інтерполяційний поліном, записаний в такій формі, називається інтерполяційним поліномом Ньютона з роздільними різницями.

Зробивши в (20) заміну змінних , отримаємо інтерполяційну формулу Ньютона для інтерполяція вперед (для початку таблиці):

(21)

або ,

де , – узагальнення степені:

Для вузлів при отримуємо:

. (22)

– інтерполяційна формула Ньютона для інтерполяції назад, яка дає найбільшу точність в кінці таблиці.

Визначальна схема. Щоби отримати у вигляді:

, (23)

необхідно виконати наступні дії.

1. Визначити значення кінцевих відмінків:

; (24)

і ; ; .

2. Визначити коефіцієнти при степенях х в (21) узагальнених степенях :

; (25)

При цьому ; ; ;

; ; ;

, . (26)

3. Визначити коефіцієнти а_і:

. (27)

Інтерполяція періодичних функцій

Якщо інтерполяційна функція періодична з періодом тобто , то необхідно, щоб базисні функції інтерполяційного полінома

Задовольняли ту ж умову , .

Системою базисних функцій, періодичною на , є системи функцій Чебишева. Таку систему утворюють при , функції:

Оскільки два тригонометричні многочлени виду

співпадають в попарно в різних точках із проміжку тотожно рівні між собою, для будь-якої періодичної функції з періодом при будь-якому наборі з попарно різних вузлів існує єдиний тригонометричний многочлен , який являється інтерполяційним многочленом для по даній системі вузлів інтерполяції, тобто

, . (29)

Так як будь-який відрізок лінійної заміни перемінно можна привести до , то в подальшому будемо розглядати як – періодичну функцію.

Аналогічно з інтерполяційним поліномом Лагранжа (4) з врахуванням (28) і (29) тригонометричний інтерполяційний поліном для по системі вузлів , при представимо у вигляді:

. (30)

Якщо – парна на відрізку функція, то за значеннями в точці можна побудувати парний тригонометричний многочлен:

. (31)

Для непарної функції на

(32)

Практична побудова тригонометричних многочленів громіздке, тому ця задача розв’язується для випадку вузлів, які знаходяться на однакових відстанях

, ; ; .

З врахуванням (30):

. (33)

Тоді (31) отримує вигляд

а (6.32) –

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Інтерполіція

2. Оцінка кінцевого члену інтерполяційного поліному Лагранжа

3.Роздільні і кінцеві різниці

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 38 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Таблиця центральних різниць _______

Питання: 1. Застосування різницевих формул інтерполяції

Застосування різницевих формул інтерполяції

Поділені різниці порядку n отримуються з рекурентного відношення:

Можна отримати інтерполяційну формулу Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Застосування різницевих формул інтерполяції

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 42 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Загальні зауваження _______

Питання: 1. Задача згладжування

В результаті спостережень для значень аргументу x (x₀, x₁, …, x_n) отримана таблиця значень функції f (x). З метою зменшення випадкових помилок і отримання більш плавної функції f (x) використовують процес згладжування, який заключається в тому, що отримані в результаті спостережень значення f (x_i) замінюють значеннями f (x_i), які дають вибраний спосіб згладжування.

Задача згладжування формулюється таким чином.

Знайти функцію f^* (x) на якій досягається мінімум виразу

Ф(f) =

де p - допоміжний параметр; p_і – задані числа.

При p = 0 задача являється наближенням за критерієм мінімуму середнього квадрату відхилень (метод найменших квадратів).

Задачу згладжування будемо розв’язувати за допомогою кубічних сплайнів.

Отримаємо рівняння для згладжування кубічного сплайну із умови

min

Відомо, що для сплайну S₂_m_-1 (x) мінімізованого, виконується відношення

де

При m = 2

де вимірні значення функції в точках x_i,

Тоді для визначення величин система рівнянь набуває вигляду

Визначивши S отримаємо

Визначимо S₀, S₁, і і знаходимо з

S₃ (x_i) = S_i, i = 0, 1.

Як слідує з систем рівнянь для обчислення коефіцієнтів M_i, S (системи матриці цих систем представляють собою трьохдіагональні матриці з домінуючою головною діагоналлю.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Задача згладжування

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 44 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Постановка завдання наближеного диференціювання _______

Питання: 1. Завдання наближеного диференціювання

За допомогою інтерполяційних формул Ньютона знайти значення першої та другої похідних за даних значень аргумента для функції, що задана таблицею.

Таблиця 1

Таблиця 2

Один із способів розв’язання задачі диференціювання – це використання інтерполяційних багаточленів.

Для виведення формул наближеного диференціювання дану функцію на відрізку замінюють інтерполяційною функцією та покладають, що

Аналогічно поступають для знаходження значення похідних функції вищих порядків.

Розглянемо числове диференціювання на основі інтерполяційної формули Ньютона, тобто покладемо, що функція задана у вигляді таблиці з постійним кроком

Запишемо для функції перший інтерполяційний багаточлен Ньютона:

Перепишемо, розкриваючи дужки:

Враховуючи правило диференціювання складної функції

матимемо:

Аналогічно, враховуючи, що

отримуємо:

В такий самий спосіб за необхідністю можна обрахувати похідні функції будь-якого порядку.

Проте кожного разу, обчислюючи значення похідної у фіксованій точці за формулами (1) та (2), в якості слід обирати найближче зліва вузлове значення аргумента.

Формули (1) та (2) значно спрощуються, якщо шуканим значенням х виявляється один з вузлів таблиці. Оскільки в цьому випадку кожне табличне значення можна вважати за початкове, то, покладаючи отримуємо Тоді формули матимуть вигляд:

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Завдання наближеного диференціювання

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 47 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Обчислення другої похідної ______

Питання: 1. Визначення похідної

2. Обчислення другої похідної

Нехай - функція двох змінних, яка визначена в деякій околиці точки . Якщо існує кінцева границя то говорять, що функція

має в точці частинну похідну по змінній . Аналогічно визначається частинна похідна по . Позначають: .

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2025 год. (0.038 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал