Треугольник Паскаля. Дерево Пифагора. Виды фракталов.

Вступление. Определение. Пример.

Мой доклад посвящен одному из новых направлений в современной

математике – фракталам. Позвольте начать с определения фрактала.

Само понятие фрактал было введено Бенуа Мандельбротом в семидесятые

годы. Термин происходит от латинского «fractus», прилагательного от глагола frangere - ломать, разбивать на части. То есть, как гласит одно из определений фракталов, фрактал - это множество, части которого подобны целому. Классическим примером природного фрактального объекта служит

береговая линия. С трудностями при измерении длины береговой линии

Британии столкнулся в начале нашего века английский гидромеханик Ричардсон при попытке заменить линию ломаной. Оказалось, что при уменьшении масштаба измерения, длина ломаной резко возрастает.

Треугольник Паскаля. Дерево Пифагора. Виды фракталов.

Многие слышали о так называемом треугольнике Паскаля, состоящем из биномиальных коэффициентов (n, k). Он выглядит так:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

.............................................................

Очень легко продолжить этот треугольник, заметив, что каждое число в нем является суммой двух, стоящих над ним. Теперь давайте заменим эти числа их вычетами по модулю 2. Другими словами, поставим вместо каждого четного числа 0, а вместо нечетного числа 1. Мы получим следующую таблицу:

1 1

1 0 1

1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

.............................................................

Как можно описать эту картину? Заметим, что весь наш треугольник со стороной 8 содержит три одинаковых треугольника со стороной 4 (левый, правый и верхний); каждый из них содержит три одинаковых треугольника со стороной 2, состоящих из трех единиц. Все остальные места заняты нулями. Попробуем вообразить, что получится, если мы продолжим наш треугольник до 2N -го ряда, где N –– большое число. Если мы сожмем наш треугольник до размера книжной страницы и заменим единицы черными точками, а нули –– белыми, то мы получим такую картину:

Здесь целый треугольник состоит из трех треугольников половинного размера, которые выглядят подобно целой картине. Пространство, ограниченное этими треугольниками, заполнено белыми точками.