Лекция 6

4º. Линейные векторные пространства

4.1. Определение линейного векторного пространства

С понятием геометрического вектора мы уже встречались на лекциях по аналитической геометрии, который определялся там как направленный отрезок. Над геометрическими векторами были определены операции суммирования и умножения на действительные числа. Вместе с тем для того, чтобы сделать возможным применять к этому понятию средства математического анализа, геометрическому вектору ставились в соответствие либо пара, либо тройка чисел – его координаты в прямоугольной декартовой системе координат. Таким образом, понятие вектора можно было бы в рамках аналитической геометрии определять двояко.

Обобщая понятие вектора и абстрагируясь от его геометрической сути, дадим определение системы, состоящей из элементов некоторого множества, над которыми определены операции, удовлетворяющие некоторым условиям. Эта теория будет носить абстрактный характер, но применяя ее к известным нам уже понятиям, можно увидеть, что она описывает многие известные нам математические конструкции.

Определение. Линейным векторным пространством называется непустое множество L элементов произвольной природы, для которых введены две операции: операция сложения векторов между собой и операция умножения этих элементов на действительные числа, причем обе операции дают снова элемент из L и для них выполнены следующие требования (аксиомы):

1) – ассоциативность сложения,

2) – коммутативность сложения,

3) существует нулевой элемент (нуль-вектор 0) такой, что , для ,

4) для существует противоположный элемент такой, что ,

5) для и для любых действительных чисел – ассоциативность умножения,

6) – дистрибутивность умножения,

7) – дистрибутивность умножения,

8) для .

Приведем несколько примеров множеств математических объектов, которые удовлетворяют определению линейного векторного пространства. В дальнейшем слово «векторного» для краткости будем опускать.

1. Рассмотрим множество R действительных чисел. Из свойств обычного сложения и умножения действительных чисел следует выполнение аксиом 1-8 линейного пространства. Здесь R играет двоякую роль, оно поставляет и векторы, и числа, на которые умножаются векторы, они же числа.

2. Множество геометрических векторов на плоскости и в трехмерном пространстве (проверьте выполнение всех аксиом линейного пространства).

3. Арифметическое пространство – множество векторов вида , где , п – целое положительное (размерность ). В этом пространстве определены операции сложения по правилу и умножения на числа: . Нуль-вектор . Противоположный элемент: . Проверьте выполнение всех аксиом.

4. Пространство квадратных матриц одинакового размера. Операции над матрицами были введены на предыдущих лекциях. Нулевым элементом будем считать нуль-матрицу. Противоположной для матрицы А будем считать матрицу , т.е. матрицу, все элементы которой умножены на –1. Проверьте выполнение всех аксиом.

Определим понятие подпространства пространства L.

Определение. Непустое подмножество Н линейного пространства L называется подпространством пространства L, если оно является линейным пространством по операциям, действующим в L. Другими словами, подмножество Н линейного пространства L является его подпространством т. и т.т., когда для 1) , 2) , .

Примером может служить пространство геометрических векторов на плоскости, являющееся подпространством пространства векторов в трехмерном пространстве.

В арифметическом пространстве примером подпространства является множество векторов вида .

4.2. Линейная зависимость векторов

Определение. Система векторов линейного пространства L называется линейно зависимой, если существуют числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что .

Исходя из этого определения, можем сказать, что система векторов линейного пространства L называется линейно независимой, если не существует набора чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такого, что .

Выражение называется линейной комбинацией векторов . Линейную комбинацию будем называть нетривиальной, если в наборе чисел хотя бы одно отлично от нуля.

Теорема 4.1. Система векторов линейно зависима т. и т.т., когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией других.

Док-во.

а) Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация , в которой, например, . Тогда

.

б) Пусть один из векторов линейно выражается через остальные. Например,

.■

Замечания. Система векторов, в которую входит нуль-вектор, всегда линейно зависимая. Система векторов, в которую входят два равных вектора, всегда линейно зависимая. Каждая подсистема линейно независимой системы также линейно независима. Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то эта система также линейно зависима (продумать и доказать самостоятельно).

4.3. Базис линейного пространства

Определение. Базисом линейного пространства L называется любая максимальная (по числу векторов) линейно независимая система векторов этого пространства. Количество векторов в базисе называется размерностью пространства и обозначается .

Примером базиса в арифметическом пространстве может служить так называемый естественный базис , где – вектор вида , у которого единственная единица находится на i- м месте от начала. Линейная независимость этой системы очевидна. Размерность арифметического пространства равна п.

Пусть – базис пространства L. Всякий вектор u тогда представим единственным образом в виде: (*) . Это представление вектора называется его разложением по базису . Числа называются координатами вектора u в этом базисе.

Покажем, что такое разложение существует. Присоединим к базису вектор u, в результате получим линейно зависимую систему (по определению базиса). Это означает, что существует нетривиальная линейная комбинация , причем в ней , иначе базис будет линейно зависимым. Из этой комбинации получаем: .

Единственность представления может быть доказана следующим образом.

Предположим, что существует другое представление: (Δ) , в котором хотя бы одна координата . Вычитая из равенства (*) равенство (Δ), получим:

.

В этой линейной комбинации существует по крайней мере один коэффициент . Но это противоречит линейной независимости базиса.

Задавать вектор u можно также, задавая его координаты матрицей-столбцом: (**) .

Можно связать два представления (*) и (**) следующим равенством, если ввести в рассмотрение условную матрицу-строку . Тогда

.

Итак, всякому вектору u можно поставить в соответствие координатную матрицу-столбец. Что будет при сложении векторов и при умножении их на числа?

Пусть и . Сложим u и v:

.

Следовательно, .

Аналогично, для , , .

Итак, при сложении векторов их координатные столбцы складываются, а при умножении на число координатный столбец умножается на это число.

Если в п- мерном пространстве L ввести некоторый новый базис , связанный со старым базисом соотношениями:

то матрица-строка записывается с помощью операции матричного умножения следующим образом:

.

Матрица А невырожденная, иначе система векторов будет линейно зависимой. Окончательно, выведено равенство .