![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Когда мы находим частную производную ,переменная считается константой.
Когда мы находим частную производную, переменная считается константой. Когда мы находим частную производную, переменная считается константой. 3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре. Обозначения: В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной. Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка: Сначала найдем смешанные производные: Как видите, всё просто: берем частную производную Аналогично: Для практических примеров справедливо следующее равенство: Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка. Находим вторую производную по «икс».
Аналогично: Следует отметить, что при нахождении Пример 2 (самостоятельно) Найти частные производные первого и второго порядка функции Ответы:
При определенном опыте частные производные из примеров №№1, 2 будут решаться Вами устно. Переходим к более сложным примерам. Пример 3 Найти частные производные первого порядка функции Решение: Находим частные производные первого порядка: Обратите внимание на подстрочный индекс: Дальнейшие комментарии: (1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае (2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни. (1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является (2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения (3) Не забываем, что Теперь находим смешанные производные второго порядка:
Запишем полный дифференциал Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид: В данном случае: То есть, в формулу нужно Пример 4 (самостоятельно) Найти частные производные первого порядка функции Ответ:
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции. Пример 5 Найти частные производные первого порядка функции Решение: (1) Применяем правило дифференцирования сложной функции (2) Здесь используем свойство корней: Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6 (самостоятельно) Найти частные производные первого порядка функции Пример 7 Найти частные производные первого порядка функции
Решение: (1) Используем правило дифференцирования суммы (2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении (1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки: Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает: – А почему это ты от меня никуда не убегаешь? – Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь! На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает: – Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем. Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).
Пример 8 Найти частные производные первого порядка функции
|