Запись чисел в позиционных системах счисления.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Общие сведения о системах счисления.

Система счисления − это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками и приемов оперирования числами.

Человечество использовало и использует до настоящего времени множество различных систем счисления (СС). Прежде всего, СС отличаются друг от друга количеством и начертанием цифровых знаков.

Примеры:

• наша десятичная СС использует арабские цифры − 0, 1, 2, 3,..., 9;
• римская система счисления использует буквы-цифры − I, V, X, L, C, D, M;
• народ майя использовал для счета 20 цифровых знаков;
• в древней Англии использовали 12 цифр (дюжина);
• наибольшее количество цифр было в древнем Вавилоне − 60.

Другое отличие СС − определение значимости цифры в записи числа. По этому признаку различают:

• непозиционные СС;
• позиционные СС.

В непозиционных СС количественное значение цифры в записи числа определяется только начертанием цифры и не зависит от ее местоположения в числе. В позиционных СС значимость цифры зависит и от ее местоположения (позиции) в записи числа.

Примеры:

• Римская СС является непозиционной. В числе XXIII используются две разные цифры: X − десять и I − единица, причем одинаковые цифры в записи числа имеют одинаковое значение.
• Наша СС является позиционной. В числе 1221 также используются две разные цифры, однако левая цифра 1 обозначает не единицу, а 1000, т.к. расположена в разряде тысяч; левая цифра 2 обозначает 200, т.к. находится в разряде сотен; правая цифра 2 обозначает 20; и только правая цифра 1 обозначает единицу.

Основание СС − это количество различных знаков, используемых в СС для отображения числа.

Примеры:

• в двоичной СС используется две арабские цифры − 0 и 1;
• в восьмеричной СС используется 8 арабских цифр − 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
• в десятичной СС используется 10 арабских цифр − 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
• в шестнадцатеричной СС используется 16 знаков: 10 арабских цифр и 6 латинских букв − 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Указанные СС применяются в современных вычислительных машинах:

• двоичная − как основная система счисления, для обработки данных, для кодирования команд компьютера, для представления данных в памяти компьютера;
• десятичная (десятеричная) − ограниченно, для организации ввода-вывода данных в привычном для человека представлении;
• восьмеричная и шестнадцатеричная − ограниченно, для более компактной записи команд и содержимого памяти компьютера.

Запись чисел в позиционных системах счисления.

Запись числа в позиционной системе счисления основана на представлении числа в виде полинома, включающего цифры числа, основание СС и номера позиций (разрядов) цифр.

Запись целого числа:

,

где − целое число в позиционной СС с основанием ;

− количество цифр в числе;

− цифра, записанная в -ом разряде (позиции) числа, .

Пример: .

Запись действительного числа:

,

где − действительное число в позиционной СС с основанием ;

− количество цифр в целой части числа;

− количество цифр в дробной части числа;

− цифра, записанная в -ом разряде (позиции) числа, .

Пример: .