Постановка задачи безусловной оптимизации .

В предыдущей главе была дана общая постановка задачи оптимизации (1.1). Если допустимое множество Х = R ⁿ, то задача (1.1) называется задачей безусловной оптимизации. Она формулируется следующим образом.

Задано: функция f (х), определенная на R ⁿ;

требуется найти: точки минимума функции f на R ⁿ. Иначе говоря,

f (х) ® min, х Î R ⁿ. (2.1)

Теория необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах безусловной оптимизации излагается в любом курсе высшей математики (см. [7, 8]). Напомним соответствующие результаты. Пусть

-вектор первых частных производных (градиент) функции f в точке х Î R ^{n .} Следующая теорема указывает необходимое условие оптимальности.

Теорема 2.1. Пусть функция f дифференцируема в точке х* R ⁿ. Если х*- локальное решение задачи (2.1), то

(2.2)

что означает равенство нулю всех первых производных функции f в точке х*:

Достаточное условие безусловного локального минимума связано со вторыми производными функции f.

Теорема 2.2. Пусть функция f дважды дифференцируема в точке х* R ⁿ. Предположим, что 0 и

при всех h Î R ⁿ, h ¹ 0. Тогда х*- строгий локальный минимум.

Разумеется, для функции f числового аргумента (n = 1) условия теоремы 2.2 означают, что f¢ ¢ (x*) > 0.

Благодаря условию (2.2) задача отыскания безусловных экстремумов дифференцируемой функции f сводится к решению системы уравнений Ñ f (x) = 0. Однако лишь в отдельных случаях решение этой системы удаётся найти в явном виде. Как правило задача отыскания корней системы уравнений Ñ f (x) = 0 примерно так же сложна, как и задача минимизации функции f, и любую из этих задач приходится решать численно. К тому же методы, разработанные специально для задач минимизации, являются более эффективными, так как они позволяют полнее учесть специфику задач.