![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Постановка задачи безусловной оптимизации .
В предыдущей главе была дана общая постановка задачи оптимизации (1.1). Если допустимое множество Х = R n, то задача (1.1) называется задачей безусловной оптимизации. Она формулируется следующим образом. Задано: функция f (х), определенная на R n; требуется найти: точки минимума функции f на R n. Иначе говоря, f (х) ® min, х Î R n. (2.1) Теория необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах безусловной оптимизации излагается в любом курсе высшей математики (см. [7, 8]). Напомним соответствующие результаты. Пусть -вектор первых частных производных (градиент) функции f в точке х Î R n . Следующая теорема указывает необходимое условие оптимальности. Теорема 2.1. Пусть функция f дифференцируема в точке х*
что означает равенство нулю всех первых производных функции f в точке х*: Достаточное условие безусловного локального минимума связано со вторыми производными функции f. Теорема 2.2. Пусть функция f дважды дифференцируема в точке х* при всех h Î R n, h ¹ 0. Тогда х*- строгий локальный минимум. Разумеется, для функции f числового аргумента (n = 1) условия теоремы 2.2 означают, что f¢ ¢ (x*) > 0. Благодаря условию (2.2) задача отыскания безусловных экстремумов дифференцируемой функции f сводится к решению системы уравнений Ñ f (x) = 0. Однако лишь в отдельных случаях решение этой системы удаётся найти в явном виде. Как правило задача отыскания корней системы уравнений Ñ f (x) = 0 примерно так же сложна, как и задача минимизации функции f, и любую из этих задач приходится решать численно. К тому же методы, разработанные специально для задач минимизации, являются более эффективными, так как они позволяют полнее учесть специфику задач.
|