Ре­ше­ние. № 315087. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке

Прототип задания № 25

№ 315087. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, СF = АM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию сле­до­ва­тель­но:

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: , Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , в этих тре­уголь­ни­ках , , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, . Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки и а сле­до­ва­тель­но равны от­рез­ки и Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

№ 314810. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что KA = NA. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , в них равно равно и равно сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит,

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

№ 340387. Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что E — се­ре­ди­на BC.