![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод производящих функций
Пусть имеется функция дискретного аргумента n, представляющая собой невозрастающую последовательность. Z- преобразованием последовательности называют функцию комплексной переменной
Если функция pn имеет смысл распределения вероятностей полной системы событий, то соответствующее z -преобразование называют производящей функцией. Применение этого преобразования позволяет упростить решение уравнений равновесия для процессов гибели-размножения, сводя решение систем разностных уравнений к системам алгебраических. Для производящих функций нетрудно получить как частный случай следующие соотношения Теперь вернемся к системе массового обслуживания M/M/1, уравнения которой имеют вид Решим эти уравнения методом производящих функций. Умножим правую и левую часть на zn и просуммируем от нуля до бесконечности. В результате получим
Группируя соответствующие члены, получаем Из соотношения Полученное выражение сразу позволяет найти среднюю длину очереди, исходя из свойств производящей функции
Этот результат, конечно, совпадает с полученным ранее прямым методом. Найденная производящая функция позволяет сразу определить и все значения вероятностей. С этой целью можно воспользоваться таблицей z-преобразований или разложить производящую функцию в степенной ряд и выписать полученные коэффициенты. Можно также воспользоваться вычислением обратного z-преобразования с помощью теоремы о вычетах.
Рассмотрим теперь систему M/M/2, которая встретится нам в дальнейшем еще раз. Решение уравнения равновесия для неё было найдено в виде Найдем производящую функцию Выражения для полученных здесь производящих функций будут использованы далее при рассмотрении сетей с интеграцией средств коммутации пакетов и каналов.
|