Метод хорд

У цьому методі крива f (x) замінюється прямою лінією - хордою, що стягує точки (a, f (a)) і (b, f (b)). Залежно від знака виразу f (a) f // (a) метод хорд має два варіанти, зображених на рис. 2 а, б.

28. Наведіть алгоритм апроксимації даних степеневою функцією.

Розглянемо загальні математичні моделі, які можна отримати при апроксимації табличних функцій степеневим поліномом.

Постановка задачі

В результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок . Необхідно знайти степеневий поліном виду:

, (6.4)

такий, щоб сума квадратів відхилень полінома від заданої системи експериментальних точок була би мінімальною. Така задача зводиться до визначення коефіцієнтів поліному . Метод, що дозволяє розв’язати її називається методом найменших квадратів (МНК). Критерій середньо квадратичного відхилення (СКО) в даному випадку має вигляд:

(6.5)

Розглянемо рисунок 6.1.

Рисунок 6.1 - Геометрична інтерпретація апроксимації табличної функції

З нього видно, що

, ,..., ,

тому вираз (6.5) можна представити в вигляді:

Очевидно, що функція E - це багато параметрична функція на множині , . Мінімуму такої функції знаходиться при виконанні умови виду:

(6.6)

Підставимо в (6.6) заміст функції - вираз , та заміст з (6.4) підставимо поліном і визначимо частинні похідні в виразу (6.6) по кожному коефіцієнту . В результаті отримуємо систему рівнянь виду:

В даної системі розкриємо дужки та спростимо кожне рівняння системи окремо. В результаті отримаємо систему виду:

(6.7)

Система рівнянь (6.7) представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів поліному , які необхідно знайти, щоб визначити аналітичну залежність, яка описує експериментальний масив даних. Дану систему можна записати у матричному вигляді:

Для розв’язання такої системи на ЕОМ необхідно розробити спеціальний алгоритм та підпрограму для формування її матриці коефіцієнтів та вектора вільних членів з використанням експериментальних даних, які задані таблицею. На рисунку 6.2 представлений алгоритм формування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (6.7) запропонований Делем В.Д. В ньому система (6.7) формується з метою зменшення кількості обчислювальних операцій (наприклад операції обчислення степеня), для цього введені допоміжні змінні та масиви і D. Зміна - містить поточне значення ; - поточне значення ; - множник, який багаторазово змінюється в процесі обчислення; - допоміжний масив із дійсних чисел, який являє собою суми (), що входять в кожне рівняння системи:

, ,..., ,...,

- масив із дійсних чисел, які являють собою суми вектора-стовпця вільних членів системи рівнянь (6.7) і визначають за допомогою допоміжних змінних та :

, , ,

Якщо для заданого степеня поліному в результаті розрахунків на ЕОМ отриманий поліном не відповідає заданої похибки обчислень , то необхідно збільшити ступень поліному на 1 (тобто степінь полінома буде ), при цьому на одиницю збільшується кількість коефіцієнтів поліному (додається новий член степеневого поліному), які необхідно знову розраховувати. При цьому розмір системи (6.7) збільшується на 1, і для визначення нових коефіцієнтів необхідно знову розв’язувати систему (6.7) методом Гауса. Цей процес повторюється до тих пір, поки не виконається умова

, (6.8)

де - задана похибка отриманих результатів.