Удк 517. 2

Федеральное агентство по образованию

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра высшей математики

Неопределенный и определенный интегралы.

Дифференциальные уравнения

Методические указания и индивидуальные задания

К контрольной работе №4

Волгоград 2010

УДК 517.2

Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальные уравнения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №4 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2010. — 24 c.

Содержатся краткие теоретические сведения, образец решения типового варианта контрольной работы, индивидуальные задания.

Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех неэкономических специальностей по дисциплине " Математика".

Библиогр. назв. 3

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

I. Неопределённый интеграл

1. Первообразная функция и неопределённый интеграл

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на отрезке [ a; b ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:

F ¢ (x) = f (x).

Любая непрерывная функция f (x) имеет бесчисленное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F (x)+ C, где
С — произвольная постоянная.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается .

Таким образом, по определению,

.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. ; .

2.

3.

4. .

5. Если F (x) — первообразная функции f (x), то справедлива формула:

6. Свойство инвариантности формул интегрирования: если , то где u – дифференцируемая функция переменной x.

3. Таблица основных неопределенных интегралов

1. .	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12. .
13.
14.
15.

4. Основные методы интегрирования

4.1. Непосредственное интегрирование

Используя тождественные преобразования подынтегральной функции и свойства неопределённых интегралов можно в ряде случаев данный интеграл свести к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти

Решение. Используя правила интегрирования (свойства 4 и 3) и табличные интегралы 4, 5, 1, получим:

= = = .

При интегрировании каждого слагаемого появляется своя произвольная постоянная, но в конечном итоге записываем только одну, так как сумма постоянных есть постоянная.

Правильность проведённого интегрирования можно проверить дифференцированием результата, при этом должна получиться подынтегральная функция.

Проверка:

.

Пример 2. Найти .

Решение. Выполняя деление, представим подынтегральную функцию как сумму двух функций, а затем, используя правила интегрирования 4, 3 и табличные интегралы 2, 1, получим:

= = - = =

= .

Пример 3. Найти .

Решение. = = = =

= – = .

Часто при сведении данного интеграла к табличному используют преобразование дифференциала, которое называют подведением под знак дифференциала и затем применяют свойство инвариантности формул интегрирования (свойство 6).

Пример 4. Найти .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

.

= - = = .

Здесь при нахождении второго интеграла использовано преобразование дифференциала и свойство 6.

Пример 5. Найти .

Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на сумму двух функций по формуле , затем применяем преобразование дифференциала и свойство 6. Получим: = = = + = =

= .

4.2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Часто вычисление интеграла упрощается, если ввести новую переменную интегрирования и в качестве такой новой переменной выбрать некоторую функцию z =ψ (x), входящую в подынтегральное выражение. Это целесообразно делать в тех случаях, когда множитель dz =ψ '(x) dx также находится в составе подынтегрального выражения.

Формула замены переменной при такой подстановке имеет вид:

= = . (1)

Формулу (1) можно читать «справа налево», т.е. подбирать подстановку в виде :

.

Пример 6. Найти .

Решение. Наличие множителя xdx даёт возможность применить подстановку z=x² +1. Дифференцируя, получим dz = 2 x dx, x dx = dz, следовательно, .

Пример 7. Найти .

Решение. Введём подстановку z = arctg x. Эта замена целесообразна, так как под интегралом содержится дробь . Тогда .

4.3. Метод интегрирования по частям

Пусть u (x) и v (x) — дифференцируемые функции. Формула

= u v - (2)

называется формулой интегрирования по частям. Этой формулой пользуются в тех случаях, когда интеграл более простой по сравнению с заданным интегралом .

Пользуясь формулой (2), весьма важно правильно выбрать множители u и dv. Для разложения подынтегрального выражения на указанные множители нет общих правил. Вместе с тем можно руководствоваться следующими указаниями.

Если подынтегральное выражение содержит произведение показательной или тригонометрической функции на многочлен, то за множитель u следует принять многочлен.

Если подынтегральное выражение содержит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на многочлен, то за множитель u следует принять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Пример 8. Найти .

Решение. Принимаем u= 2 х –5, dv = . Тогда , . Применяя формулу (2) получим:

=

= .

Следует отметить, что при определении функции v по дифференциалу dv можно брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит. Поэтому удобно принять С =0.

Пример 9. Найти .

Решение.

= .

Рассмотренные выше методы вычисления неопределённых интегралов не дают общего правила для интегрирования любой функции. Однако можно выделить несколько классов функций (дробно-рациональные, тригонометрические и др.), интегралы от которых можно вычислять стандартными методами [1], [2], [3].

II. Определённый интеграл

1. Основные свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3. .

4.

5. — свойство аддитивности.

6. Если f (x) ³ 0 на [ a, b ], то .

2. Формула Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница является основной формулой интегрального исчисления, она позволяет вычислить определённый интеграл от любой функции f (x), для которой известна первообразная F (x):

. (3)

Разность F (b)- F (a) принято обозначать знаком двойной подстановки F (x) , поэтому формулу Ньютона-Лейбница можно записать и так: = F (x) .

Пример 10. Вычислить .

Решение. Используя свойства 4 и 3, а при нахождении первообразных табличные интегралы 2 и 1, получим:

= = =4

3. Метод замены переменной в определённом интеграле

При использовании подстановки в определённом интеграле подынтегральное выражение преобразуется так же, как и в случае неопределённого интеграла. Особенность заключается в том, что нет необходимости возвращаться к прежней переменной. Достаточно дополнительно произвести замену пределов интегрирования, определив интервал, который должна пройти новая переменная.

Пример 11. Вычислить .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

. Применим подстановку: , тогда . Определим новый промежуток интегрирования. Если то и t = 1; если , то = t и t = 0. Значит, Положительный знак перед последним интегралом взят в соответствии со свойством 2, при этом верхний и нижний пределы интегрирования поменялись местами.

4. Интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула

(4)

называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пример 12. Вычислить .

Решение. = =

= = .

5. Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция ƒ (х) непрерывна на промежутке [ a, +∞). Если интеграл при в → ∞ имеет конечный предел, то этот предел называют несобственным интегралом и обозначают . При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится.

Таким образом, по определению,

.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; в ]:

.

Пример 13.

= .

Пример 14.

Так как предел не существует, то данный интеграл расходится.

6. Вычисление площади плоской фигуры

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми х=а, х=в (рис.1) находится по формуле:

(5)

Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х
и у= 2- х².

Решение. Найдём точки пересечения прямой у = х с параболой у =2– х ².

Для этого решим систему уравнений:

Значение у=х из первого уравнения подставим во второе, получим:
х= 2– х ², откуда найдём х ₁=-2, х ₂=1. Тогда из первого уравнения у ₁=-2, у ₂=1.

Следовательно, линии пересекаются в точках А (-2; -2) и В (1; 1) (рис. 3).

Искомая площадь, согласно формуле (5), равна:

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Основные понятия

Определение 3. Уравнение вида

F (x, y, y¢) = 0 (6)

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у ¢ — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением дифференциального уравнения (6) называется всякая функция у= φ (х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесчисленное множество решений. Общим решением уравнения (6) называется такое решение у= φ (х, С), которое при любом значении произвольной постоянной С удовлетворяет этому уравнению.

Решение, которое получается из общего решения при некотором конкретном числовом значении С=С₀ называется частным решением.

Частное решение имеет вид у = φ (х, С₀). Чтобы найти С₀ задаётся начальное условие у= у ₀ при х= х ₀, которому должно удовлетворять искомое частное решение.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

М (x) N (y) dx + P (x) Q (y) dy =0. (7)

Разделив обе части уравнения (7) на произведение P (x) N (y) получим уравнение с разделёнными переменными:

. (8)

Почленное интегрирование уравнения (8) приводит к выражению:

,

которое в неявной форме определяет решение исходного уравнения и называется общим интегралом этого уравнения.

Пример 16. Решить уравнение х dx + y (4 + x ²) dy =0.

Решение. Разделим обе части уравнения на (4+ x ²) . Получим:

Выполняем интегрирование:

,

.

Полученное выражение есть общий интеграл данного уравнения.

3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Определение 5. Уравнение вида

у¢ + р (х) у = f (x), (9)

где р (х) и f (x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Будем искать решение у (х) уравнения (9) в виде произведения двух функций у (х)= U (x) V (x). Тогда у ¢ = U ¢ (x) V (x)+ U (x) V ¢ (x) и уравнение (9) примет вид:

U ¢ V + UV ¢ + p (x) UV = f (x), или

U ¢ V + U (V ¢ + p (x) V)= f (x).

Выберем функцию V такой, чтобы выражение в скобке V ¢ + p (x) V равнялось нулю. Тогда получим два уравнения с разделяющимися переменными:
V ¢ + p (x) V =0 и U ¢ V = f (x).

Решая первое уравнение находим V= V (x), причём достаточно взять частное решение, когда произвольная постоянная равна 0. Подставив найденное значение V (x) во второе уравнение и решив его, найдём U (x, C). Возвращаясь к переменной у получим общее решение уравнения (9) у (х)= U (x, С) V (x).

К линейным уравнениям приводятся уравнения Бернулли, которые отличаются от линейных наличием в правой части, кроме функции f (x), ещё и множителя у^п, где п ≠ 0, п ≠ 1. Общий вид такого уравнения:

у ¢ + р (х) у = f (x) y ⁿ.

На практике при решении уравнений Бернулли их не сводят к линейным, а интегрируют, как и линейные, подстановкой у (х)= U (x) V (x).

Пример 17. Решить уравнение у ¢ + = у²х.

Решение. Дано уравнение Бернулли. Сделав замену у = UV, у ¢ = U ¢ V + UV ¢, получим: U ¢ V + UV ¢ + =(UV)² х или U ¢ V + U (V ¢ + )= U²V²х.

Приравнивая к нулю выражение в скобках, получим два уравнения:

V ¢ + = 0 и U ¢ V = U ² V ²х.

Решаем первое уравнение. V ¢ + = 0, ,

, V = .

Подставим найденное значение V во второе уравнение и решим его:

U = .

Значения U (x) и V (x) подставим в решение у = U V. Получим:

у = — это и есть общее решение данного уравнения.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

1. Найти неопределённые интегралы:

а) , б) , в) .

В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

Решение. а) Введём подстановку t = - x ².Тогда dt = - 2 x dx, xdx = - dt.

= = = .

Проверка. .

б) Применим метод интегрирования по частям, тогда

= = =

= = =

= = =

= .

Проверка. ()^' = .

в) Из квадратного трёхчлена знаменателя выделим полный квадрат:

Тогда .

Введём подстановку . Получим:

= .

2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение. = .

Следовательно, данный интеграл расходится.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 х – х ², у = 2 ^х,
х = 0, х = 2.

Решение. Данная фигура ограничена сверху графиком показательной функции у = 2 ^х, снизу – параболой у = 2 х – х ², с боков – отрезками прямых х = 0, х = 2, параллельных оси Оу (Рис.4).

Следовательно, S =

=

4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у₀ = 1 при х₀ = π.

Решение. Данное уравнение является линейным, поэтому его можно решить с помощью подстановки у = UV, у ¢ = U ¢ V + UV ¢.

Тогда данное уравнение примет вид:

U ¢ V + UV ¢ + UV tg x = , или V (U ¢ + U tg x) + U V ¢ = .

Полагая выражение в скобке равным нулю, получим два уравнения:

U ¢ + U tg x =0 и U V ¢ = .

Решаем первое уравнение: + U tg x = 0, ,

, .

При С = 0 получим частное решение U = cos x, подставим его во второе уравнение и решим полученное уравнение:

cos x = , , V = tg x + C.

Общее решение исходного уравнения у = U V = cos x (tg x + C). Из него выделим частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (π) = 1: 1 = cos π (tg π + C), 1 = - 1 (0 + С), откуда С = - 1. Подставляя значение
С = -1 в общее решение, получим частное решение исходного уравнения:
у = cos x (tg x - 1) = sin x – cos x.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

1. а) б) ; в)

2. а) б) ; в)

3. а) б) ; в)

4. а) б) ; в)

5. а) б) ; в)

6. а) б) ; в)

7. а) б) ; в)

8. а) б) ; в)

9. а) б) ; в)

10. а) б) ; в)

11. а) б) ; в)

12. а) б) ; в)

13. а) б) ; в)

14. а) б) ; в)

15. а) б) ; в)

16. а) б) ; в)

17. а) б) ; в)

18. а) б) ; в)

19. а) б) ; в)

20. а) б) ; в)

21. а) б) ; в)

22. а) б) ; в)

23. а) б) ; в)

24. а) б) ; в)

25. а) б) ; в)

26. а) б) ; в)

27. а) б) ; в)

28. а) б) ; в)

29. а) б) ; в)

30. а) б) ; в)

2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. 3 x ² – 4 y = 0, 2 x – 4 y + 1 = 0.

2. y = x ³ + 3, x = 0, y = x – 1, x = 2.

3. x = 4, y = 0.

4. 4 x – 3 y ² = 0, 4 x + 2 y – 1 = 0.

5. y = x ³ – 2, x = 0, y = x + 2, x = –3.

6. , y = x.

7. 2 x + 3 y ² = 0, 2 x + 2 y + 1 = 0.

8. y = x ³ – 1, x = 0, y = x + 3, x = –2.

9. x y = 6, x + y – 7 = 0.

10. 3 x ² – 2 y = 0, 2 x + 2 y – 1 = 0.

11. y = x ³ + 1, x = 0, y = x + 5, x = –2.

12. y = 7 x ², y = 1 + 2 x – x ².

13. 2 x – 3 y ² = 0, 2 x + 2 y – 1 = 0.

14. y = x ³ + 2, x = 0, y = x + 6, x = –2.

15. y = 2, x = 0.

16. 4 x + 3 y ² = 0, 4 x + 2 y + 1 = 0.

17. y = x ³ + 3, x = 0, y = x + 7, x = –2.

18. y = x + 1, y = cos x, y = 0 (x ≤ 0).

19. 3 x ² + 4 y = 0, 2 x – 4 y – 1 = 0.

20. y = x ³ – 2, x = 0, y = x – 6, x = 2.

21. x y = 4, x + y – 5 = 0.

22. 3 x ² – 4 y = 0, 2 x + 4 y – 1 = 0.

23. y = x ³ – 1, x = 0, y = x – 5, x = 2.

24. y = 2 ^x, y = 2 x – x ², x = 0, x = 2.

25. 3 x ² – 2 y = 0, 2 x – 2 y + 1 = 0.

26. y = x ³ + 2, x = 0, y = x – 2, x = 2.

27. y = – 3 x ² – 3 x, y + 9 x + 9 = 0.

28. 3 x ² + 4 y = 0, 2 x + 4 y + 1 = 0.

29. y = x ³ + 1, x = 0, y = x – 3, x = 2.

30. y = – x ² + 4, 2 x + y – 4 = 0.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию: y = y₀ при x = x₀.

1. y ₀ = 0, x ₀ = .

2. y ₀ = 3, x ₀ = .

3. y ₀ = 1, x ₀ = 3.

4. y ₀ = 2, x ₀ = 0.

5. y ₀ = , x ₀ = – 1.

6. y ₀ = 2, x ₀ = 1.

7. y ₀ = 5, x ₀ = -2.

8. y ₀ = 1, x ₀ = π.

9. y ₀ = 0, x ₀ = e.

10. y ₀ = 4, x ₀ = 0.

11. y ₀ = 1, x ₀ = 0.

12. y ₀ = , x ₀ = 1.

13. y ₀ = 3, x ₀ = 0.

14. y ₀ = e, x ₀ = 1.

15. y ₀ = e, x ₀ = 1.

16. y ₀ = 2, x ₀ = 0.

17. y ₀ = , x ₀ = 0.

18. y ₀ = 1, x ₀ = 0.

19. y ₀ = 1, x ₀ = .

20. y ₀ = 1, x ₀ = 1.

21. y ₀ = 1, x ₀ = 3.

22. y ₀ = 3, x ₀ = 0.

23. y ₀ = 0, x ₀ = .

24. y ₀ = 2, x ₀ = 0.

25. y ₀ = 1, x ₀ = 0.

26.