Amp; Теоретические сведения

Лабораторная работа № 2-3

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Цель работы: Изучение арифметических основ ЭВМ.

Вопросы:

1. Понятие систем счисления.

2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

4. Арифметические действия над числами в различных системах счисления

amp; Теоретические сведения

1. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 1. Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления.

22₁₀ = 10110₂

2. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 2. Число 571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

571₁₀ = 1073₈

3. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 3. Число 7467₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7467₁₀ = 1D2B₁₆

4. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 1. Степени числа 2

n степень

Пример 4. Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления.

5. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 2. Степени числа 8

n (степень)

Пример 5. Число 75013₈ перевести в десятичную систему счисления.

6. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 3. Степени числа 16

nстепень

Пример 6. Число FDA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 4).

Таблица 4. Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Пример 7. Число 1001011₂ перевести в восьмеричную систему счисления. 001 001 011₂ = 113₈

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой (табл. 5).

Таблица 5. Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр и двоичного кода

Пример 8. Число 1011100011₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

0010 1110 0011₂ = 2E3₁₆

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример 9. Число 531₈ перевести в двоичную систему счисления.

531₈ = 101011001₂

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример 10. Число EE8₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

EE8₁₆ = 111011101000₂

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 11. Число FEA₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления.

FEA₁₆ = 111111101010₂

111 111 101 010₂ = 7752₈

Пример 12. Число 6635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

6635₈ = 110110011101₂

1101 1001 1101₂ = D9D₁₆

12. Если переводится дробная часть числа, то она умножается на Р (основание системы счисления, в которую переводится число), после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на Р и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием Р.

Пример 13. Число 0, 125₁₀ перевести в двоичную систему счисления

0, 125₁₀® Х₂ = 0, 001₂

13. Для сложения многоразрядных чисел используется метод, аналогичный тому, с помощью которого складывают десятичные числа на бумаге. Числа складываются поразрядно, начиная с младшего разряда, причём, если сумма цифр некоторого разряда превышает основание системы счисления, то к следующему разряду прибавляется единица, а в данный разряд записывается разность между получившейся суммой и основанием системы счисления.

0 1 0 1

+0+0+1+1

0 1 1 1 1

^{перенос}

Примеры.

14. Вычитание, так же как и сложение, выполняется поразрядно, начиная с младшего разряда. Если в некотором разряде уменьшаемое меньше вычитаемого, то «занимается» единица из старшего разряда, т.е. старший разряд уменьшается на единицу, а данный разряд увеличивается на число, равное основанию системы счисления.

Примеры.

15. Умножение многозначных чисел выполняется аналогично «в столбик». Умножение этим способом сводится к перемножению однозначных чисел и сложению.

Примеры.

1). 538 · 48 = 2548 1 × 53 3·4=1210=1∙ 8+4=148 4 5·4+1=2110=2∙ 8+5=258	5). 1516 · 616 = 7E16 1 × 15 5·6=3010=1·16+14=1E16 6 1·6+1=7 7E
2). 175 8· 0, 58 = 116, 18 4 3 × 175 5·5=2510=3∙ 8+1=318 0, 5 7·5+3=3810=4∙ 8+6=468 116, 1 1·5+4=910=1∙ 8+1=118	6). 14916 · 8916 = B01116   × 149 9·9=8110=5·16+1=5116 89 4·9+5=4110=2·16+9=2916 ++ B91 1·9+2=1110=B16 A48 9·8=7210=4·16+8=4816 B011 4·8+4=3610=2·16+4=2416 1·8+2=1010=A16 9+8=1710=1·16+1=1116 1+B+4=1+11+4=1610=1·16+0=1016
3). 248 · 168 = 4308   × 24 4·6=2410=3∙ 8+0=308 16 2·6+3=1510=1∙ 8+7=178 ++ 170 24 7+4=1110=1∙ 8+3=138 430 1+1+2=4	7). 24E16 · 1216 = 297C   × 24E E·2=14·2=2810=1·16+12=1C16 12 4·2+1=9 ++ 49C 2·2=4 24E 9+E=9+14=2310=1·16+7=1716 297C 1+4+4=9
4). 6238 · 418 = 317638   × 623 3·4=1210=1∙ 8+4=148 41 2·4+1=910=1∙ 8+1=118 ++ 623 6·4+1=2510=3∙ 8+1=318 31763	8). A, 516 · 2, B16 = 1B, B716   × A, 5 5·B=5·11=5510=3·16+7=3716 2, B A·B+3=10·11+3=11310=7·16+1=7116 ++ 7 1 7 5·2=1010=A16 1 4 A A·2=10·2=2010=1·16+4=1416 1 B, B 7 1+A=B 7+4=1110=B16

16. Деление многозначных чисел в любой позиционной системе выполняется тем же способом, что и в десятичной. При этом используются операции умножения и вычитания.

Примеры.

Деление на однозначные числа

1) 52₈: 3₈ = 16₈

2) 313₈: 7₈ = 35₈

3) 334₁₆: A₁₆ = 52₁₆

Деление на многозначные числа

4) 250₈: 16₈ = 14₈

5) 1552₈: 23₈ = 56₈

6₈·23₈=162₈

₂

6 2·6+2=14₁₀=1·8+6=16₈

6) 5E8₁₆: 12₁₆ = 54₁₆

4₁₆·12₁₆=48₁₆

4