ТЕМА 1. Графическое решение задачи линейного программирования. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Задача 2

Три станка обрабатывают 2 вида деталей -А и Б. Каждая деталь проходит обработку на всех трех станках. Известны: время обработки детали на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и цена одной детали каждого вида.

1. Определить план производства деталей А и В, обеспечивающий максимальный доход цеху.

2. Является ли рабочее время второго станка дефицитным ресурсом? Если да, то на какую величину это время нужно увеличить?

3. Определить возможное снижение времени работы станков за один цикл производства.

4. Если цена детали В снизится до 5 тыс.руб., как это повлияет на решение?

Решение.

Строим математическую модель задачи:

(1)

(2)

. (3)

Экономико-математическая модель задачи: найти план выпуска продукции , удовлетворяющий условиям (1) – (3).

Построим область допустимых решений.

Построим нулевую линию уровня : ().

Целевая функция достигнет максимума в последней точке соприкосновения линии уровня с областью допустимых решений, в точке В. Линию уровня, проходящую через , обозначим .

l₃

l₂

l₁

А

В

С

D

q₀

q_max

Определим координаты точки . Решим систему В(4; 6). Отсюда оптимальное решение х*(4; 6), .

Составим двойственную задачу по отношению к исходной.

Z(y) = 16 у₁ + 10 у₂ + 24 у₃ → min

Вычислим объективно-обусловленные оценки ресурсов (найти решение двойственной задачи, составив соотношение устойчивости).

Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности. Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что рабочее время второго станка полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2> 0). При этом его увеличение не повлияет на результат, т.к. рабочее время первого станка также является дефицитным.

3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. рабочее время третьего станка израсходовано не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y2 = 0. Возможно снизить время работы третьего станка за один цикл производства на 6 ч.

Определим оптимальный план выпуска деталей, если цена детали В снизится до 5 тыс.руб.:

.

Целевая функция достигнет максимума в последней точке соприкосновения линии уровня с областью допустимых решений, в точке В. Линию уровня, проходящую через , обозначим .

l₃

l₂

l₁

А

В

С

D

q₀

q_max

Определим координаты точки . Решим систему В(4; 6). Отсюда оптимальное решение х*(4; 6), .

То есть прибыль снизится на 52 – 46 = 6 тыс. руб. При этом план выпуска останется неизменным.