Задание №5.

5.1. Найти кривую, проходящую через точку (4, 4), для которой угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

5.2. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОY. Известно, что искомая кривая проходит через точку Р(1, 2).

5.3. Найти линию, проходящую через точку М_о(6, 4) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор с концом на оси ОY имеет длину, равную а=10, и образует острый угол с положительным направлением оси ОY.

5.4. Найти линию, проходящую через точку М_о(1, 1), если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в соотношении 1: 2 (считая от оси OY).

5.5. Найти линию, проходящую через точку М_о(2, -1), если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью ОY делится в точке пересечения с осью абсцисс в соотношении 1: 1.

5.6. Найти линию, проходящую через точку М_о(1, 2), если отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится в точке касания в соотношении 1: 1.

5.7. Найти линию, проходящую через точку М_о(2, е) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси ОХ имеет проекцию на ось ОХ обратно пропорциональную абсциссе точки М. Коэффициент пропорциональности k равен -2.

5.8. Найти кривую, проходящую через точку М_о(4, 3), у которой подкасательная есть среднее арифметическое координат точек касания М (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью ОХ).

5.9. Найти линию, проходящую через точку М_о(1, 1) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси ОY имеет проекцию на ось ОY, равную 1.

5.10. Найти кривую, для которой сумма длин отрезка касательной к подкасательной пропорциональна произведению координат точки касания М. Кривая проходит через точку М_о(1, 1), коэффициент пропорциональности (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью абсцисс).

5.11. Пользуясь прямоугольными координатами, найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку. Взять падающие лучи параллельными оси ОХ.

5.12. Составит уравнение кривой, проходящей через точку М_о(а, а) и обладающей следующим свойством: если в любой точке М(х, у) кривой с ординатой РМ провести касательную до пересечения с осью ОY в точке Т, то площадь трапеции ОТМР равна .

5.13. Площадь треугольника, образованного радиус-вектором ОМ любой точки М(х, у) кривой, касательной МР к этой точке и осью ОХ, равна 2. Кривая проходит через точку М_о(2, -2). Найти уравнение этой кривой.

5.14. Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой М до оси ОХ находится на параболе .

5.15. Определить кривую, проходящую через точку М_о(1, 1), у которой отрезок касательной от точки касания М до пересечения с осью ОХ равен отрезку ОТ, где точка Т – точка пересечения касательной с осью ОХ.

5.16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М_о(1, 1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат равен квадрату абсциссы точки касания.

5.17. Найти кривую, проходящую через точку М_о(3, 0), у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

5.18. Найти кривую, проходящую через точку М_о(1, 1) и обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания.

5.19. Найти кривую, проходящую через точку М_о(1, 1) и обладающую тем свойством, что отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси ОY равна квадрату абсциссы точки касания.

5.20. Определить кривую, проходящую через точку М_о(0, 1), у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси ОY, к радиус-вектору равна 1.

5.21. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину а. Кривая проходит через точку М_о(а, е) (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью абсцисс).

5.22. Найти кривую, проходящую через точку М_о(2, 1), для которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания.

5.23. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М_о(3, 5) и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор с концом на оси ОY имеет длину, равную 5, и образует острый угол с положительным направлением оси ОY.

5.24. Найти кривую, проходящую через точку М_о(1, 4) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси ОY имеет проекцию на ось ОY, равную 2.