Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Понятие предела функции в точке
Начала анализа в 10 – 11 классах средней школы Понятие предела функции в точке вводится в курсе математики старших классов в связи с необходимостью определения производной. История изучения пределов в школе достаточно многообразна. Были попытки строгого определения этого понятия на языке e-d. Однако практика обучения отвергла такие попытки. Рассмотрим один из возможных вариантов формирования понятия предела функции в точке на интуитивно-наглядном уровне. Учащимся предлагается задание 1. Рассмотрим функцию . Пусть переменная х принимает значения «приближающиеся» к 1 сначала справа, а затем слева. Понаблюдаем за соответствующими значениями у по графику. Работаем по подготовленному заранее графику. Приходим к выводу, что при х ® 1 значения у® 3. Вывешиваем плакат.
К такому выводу можно прийти аналитически. Будем приближаться к 1 справа с помощью последовательности значений аргумента . Вычисляем несколько первых членов этой последовательности: Найдём соответствующую последовательность значений функции Аналогично будем приближаться к 1 слева с помощью последовательности значений аргумента . Тогда соответствующая последовательность значений функции также приближается к 3. Делаем вывод: если аргумент принимает бесконечную последовательность значений, стремящуюся к 1, то соответствующая последовательность значений функции стремится приблизиться к 3. В такой ситуации говорят, что при х ® 1 у ® 3 и записывают так . Затем аналогичные наблюдения и рассуждения проводятся по готовому чертежу на плакате 2 для функции
Предлагаем учащимся последовательность значений и . Делаем вывод, что если х ® -3, то у ® - 6. Записываем . Далее рассматривается функция 3
Наблюдаем за поведением функции при По графику делаем вывод, что . То есть . Далее обобщаем полученные результаты. 1. Каждая из рассмотренных функций определена в некоторой «проколотой» окрестности точки а.
2. Существует число А, к которому стремятся значения функции, если значения аргумента стремятся к числу а. График функции в случае существования предела имеет один из трёх видов:
Точка на графике Точка «выколота» Точка «выскочила»
Далее со школьниками целесообразно обсудить контрпримеры.
Работая с графиками, учащиеся должны ответить на вопрос: «Имеет ли данная функция предел в точке 0?» Для усвоения понятия предела на интуитивно – наглядном уровне школьникам могут быть предложены упражнения (Рис. 1 – Рис. 6). Существует ли предел в точке и, если существует, то чему он равен?
В дальнейшем для нахождения табличных производных учащиеся должны знать теоремы о пределах, которые сообщаются им без доказательства. Теорема 1. Пусть , тогда Теорема 2. Если функции f и g имеют пределы в точке а, то
Теорема 2.
Если функции f и g имеют пределы в точке а, то Cледствие.
Теорема 3. Если функции f и g имеют пределы в точке а, причём , то . Разъяснить смысл теорем 1 и 2 можно с помощью графиков. На примере функции покажем, что
Приведём пример задания, иллюстрирующего применение теорем о пределах. Дано: Найти:
|