Лекция. Параллельные прямые в курсе геометрии 7 класса

Основная цель: сформировать понятие параллельных прямых.

Выше была приведена схема формирования понятия по 5 позициям: определение, символическое обозначение, геометрическая интерпретация, свойства и признаки, приложения. Формирование понятия параллельных прямых идеально укладывается в эту схему.

Содержание учебного материала

Содержание учебного материала описывается посредством блок схемы.

Блок схема состоит из 3 блоков А, В, С.

Блок А – ранее изученный материал, используемый в данной теме.

Блок В – теоретический материал данной темы, который делится на 3 блока:

В₁ - основные понятия и предложения темы;

В₂ – сопутствующий материал;

В₃ – вырабатываемый в этой теме аппарат, применяемый в других темах и при решении задач;

С – приложения данной темы.

Блок – схемы представляются в следующем виде:

Рис. 1Анализ учебного материала позволяет составить следующую блок –

схему темы «Параллельные прямые»

Блок – схема темы «Параллельные прямые» по учебнику А.В. Погорелова

Проведём сравнительный анализ учебного материала

Заглянем «внутрь».

1. В учебнике П. сложно вводятся углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.

Рис. 2 Рис. 3

2. Доказывается, что

· если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны;

· если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180° и обратно: если сумма внутренних односторонних углов равна 180, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Потому признак параллельности в учебнике П. может быть записан в виде «Если........., то прямые параллельны», где вместо пропуска может быть вписано любое из условий:

внутренние накрест лежащие углы равны;

сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

В учебнике А. всё доступнее.

Рассмотрим доказательства признака параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

П. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 °, то прямые параллельны.

Дано: Дано: a, b – прямые.

АВ – секущая.

Ð 1=Ð 2, Ð 3=Ð 4.

Доказать: a || b

Рис. 4

Пусть прямые a и b не параллельны и пересекаются в точке С.

1. Построим DВ А С₁ = DА В С, причём точки С и С₁ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ.

Тогда Ð 1=Ð СВА=Ð ВАС₁ (по определению равных треугольников).

Ð 1 =Ð 2 (по условию).

Вывод: Ð 2==Ð ВАС₁, следовательно,

АС₁ и а совпадут.

2) Аналогично,

Ð 3=Ð САВ=Ð С₁ВА,

Ð 3=Ð 4.

Вывод: Ð С₁ВА=Ð 4.

АС₁ и а совпадут.

Получили две различные прямые, проходящие через точки А и В. Противоречие аксиоме 1.

АВ – секущая.

Ð 1=Ð 2.

Доказать: a || b

Д.П. 1. АО=ОВ. 2. ОН ^ а.

4. АН₁=НВ. 5. Н₁О.

Рис.6

Доказательство

1. DОНВ=DОН₁А (1 признак).

2. Ð 3=Ð 4: точки Н, О, Н₁ – лежат на одной прямой.

3. Ð 5=Ð 6, Ð 5=90°: Ð 6=90°.

Вывод: a || b

Приложения этого материала рассмотрим на примере теоремы о сумме углов треугольника.

Доказательство

Следовательно, Ð А+Ð В+Ð С=180°.

Рис. 7

Следовательно, Ð 1+Ð 2+Ð 3=180°.

Рис. 8