Математическое моделирование

Обычно математические модели представляют собой формализованную запись процессов, происходящих в объектах исследования, и служат как для исследования свойств этих объектов, так и дня предсказания их поведения в различных ситуациях. Если исходить из соотношений, которые выражают зависимости между состояниями и параметрами объектов исследования, различают модели детерминированные и вероятностные (стохастические). Если исходить из способа дальнейшего использования математической модели для изучения объекта исследования, то модели можно разделить на аналитические, численные и имитационные.

Для аналитических математических моделей процессы функционирования технических систем записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегрально-дифференциальных). При этом всегда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых величин. Поэтому предсказательные возможности аналитических математических моделей очень велики. Если математические зависимости сложны, то зачастую используются ЭВМ, позволяющие быстро вычислить значения компонент векторов и для любых заданных значений векторов , , или их распределений (для вероятностных математических моделей).

Для численных математических моделей, когда в общем виде трудно найти явные зависимости для искомых величин, стараются получить числовые результаты при конкретных начальных расчётных данных компонент векторов , и . В данном случае широко используется алгоритмическое описание процесса функционирования технической системы и её компонентов. Результат получается путём использования численных методов решения зависимостей. Причём в явном виде эти зависимости удаётся получить на практике весьма редко. Поэтому исследователи вначале стремятся получить аналитическое решение задачи. При этом они идут умышленно на упрощение реальной ситуации, чтобы иметь возможность изучать некоторые общие свойства системы. В отдельных случаях приближённое решение задачи о поведении технической системы исследователей удовлетворяет. Поэтому для нихдостаточно результатов, полученных с помощью качественных методов на аналитической математической модели.

Для получения аналитич или числ решения различных типов функц уравнений создан мощный математический аппарат: алгебра; функциональный анализ; теория и методы решения дифференциальных, интегральных и разностных уравнений; теория вероятностных процессов; численные методы; методы оптимизации и т. д.

Имитационные математические модели применяются тогда, когда техническая система особенно сложна или когда необходим высокий уровень детализации представления процессов, протекающих в ней. К таким системам можно отнести экономические и производственные объекты, морские порты, аэропорты, комплексы перекачки нефти и газа, ирригационные системы, программное обеспечение сложных систем управления, вычислительные сети и многие другие. Для таких технических систем ради получения аналитической математической модели исследователь вынужден накладывать жёсткие ограничения на модель и прибегать к упрощениям. При этом приходится пренебрегать некоторыми особенностями технической системы, что приводит к тому, что математическая модель перестаёт быть средством изучения сложной системы. В имитационных моделях моделируемый алгоритм поведения технической системы приближённо воспроизводит сам процесс-оригинал в смысле его функционирования во времени. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и порядка протекания во времени. Таким образом, реализуется на ЭВМ специальный алгоритм, который воспроизводит формализованный процесс поведения технической системы. Этот алгоритм по исходным данным (, , ) позволяет получить информацию об изменении во времени t состояний и откликов модели. В этом алгоритме можно выделить три функциональные части: моделирование элементарных подпроцессов; учёт их взаимодействия и объединение их в единый процесс; обеспечение согласованной работы отдельных подпроцессов при реализации математической модели на ЭВМ. Влияние случайных факторов на течение процесса имитируется с помощью генераторов случайных чисел с заданными вероятностными характеристиками. В ходе имитации постоянно фиксируется статистика о состояниях системы и изменениях откликов . Эта статистика либо должным образом обрабатывается в ходе имитации, либо накапливается и по окончании заданного интервала моделирования Т_М обрабатывается статистическими методами. Как видим, идея имитации привлекательна по своей простоте, но дорога по реализации. Поэтому применяются имитационные модели только в тех случаях, когда другие способы моделирования неэффективны.