Дедуктивные теории

Дедукция (от латинского deductic - выведение) - форма мышления, когда

заключение выводится чисто логическим путем (т.е. по правилам логики) из

некоторых данных посылок.

Индукция (от латинского inductio - наведение) - форма мышления, посред-

ством которой от некоторых фактов или истинных высказываний переходят к

некоторой гипотезе (общему утверждению).

Примеры дедуктивных рассуждений.

1. Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен.

2. 5> 3, 3 > 1, следовательно, 5 > 1.

Примеры индуктивных рассуждений.

1. График функции y=2x+3 прямая, график функции y=3x+1 прямая, сле-

довательно, функции вида y=kx+b имеют графиком прямую. Полученная

здесь гипотеза оказывается истинной.

2. Рассмотрим предположение Ферма, что число р= +1 является про-стым для

всех n. При n=0, 1, 2, 3, 4 получим, что р равно 3, 5, 17, 257, 65537 и все они

простые числа. Но Эйлер показал, что для n=5 р= 4 294 967 297 и это число

является составным (делится на 641). Следовательно, это предположение

Ферма не верно. n22

2. Возьмем формулу Эйлера N=x2+x+41. При каждом x=1, 2, 3,..., 39 число N

является простым, следовательно, числа N, указанного вида, являются

просты-ми. Сформулированная здесь гипотеза неверна, например, при х=40

число N=412, следовательно, оно не является простым.

Таким образом, заключение, полученное дедуктивным способом, уже не

нуждается в доказательстве. Заключение, полученное индуктивным

способом, требует доказательства его истинности. Будем рассматривать

дедуктивные ме-тоды. Введем понятие дедуктивной теории.

Дедуктивная теория считается заданной, если задан язык этой теории и из

множества правильно построенных выражений (предложений, называемых

формулами) языка выделено дедуктивным образом множество теорем. Под-

робнее, дедуктивная теория считается заданной, если:

1). Задан алфавит и правила образования выражений (слов) в этом алфа-

вите.

2). Заданы правила образования формул (правильно построенных выра-

жений) языка.

3). Из множества всех формул языка выделено некоторым дедуктивным

способом (который будет описан ниже) подмножество Т, элементы которого

будем называть теоремами. В зависимости от того, как задано это подмноже-

ство Т, будем различать получающиеся при этом дедуктивные теории.

Подмножество Т может задаваться одним из следующих способов.

I. Задаются аксиомы и конечное число правил выводов, т.е.

а) из множества формул (правильно построенных выражений) выделяется

подмножество А, элементы которого называются аксиомами (аксиом может

быть как конечное число, так и бесконечное),

б) задается конечное число правил выводов, используя которые, и только их,

из аксиом можно некоторым образом получать теоремы (подробнее этот

вопрос будет изучаться в следующих параграфах).

Если теоремы заданы указанным образом, т.е. заданием аксиом и конеч-ного

числа правил вывода, то эта дедуктивная теория называется формальной

аксиоматической теорией или формальным (логическим) исчислением.

Особо отметим, что аксиомы лишь задаются, поэтому их часто называют

скрытыми определениями. Бытующее мнение, согласно которому аксиомы

принимаются без доказательств, не совсем точно передает суть дела.