![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Математическое описание систем. Энтропия и потенциальная функция.
Энтропия и потенциальная функция При изучении систем с информационно-теоретической точки зрения часто ее описание дается на языке энтропии и потенциальных функций. По аналогии с классической механикой и теорией поля можно рассматривать реакцию системы на внешнее воздействие как динамическое изменение состояния системы, в процессе которого она стремится минимизировать некоторую потенциальную функцию. В зависимости от конкретного вида системы и принятых допущений такая динамика может быть локальной в смысле движения системы к относительному минимуму, ближайшему к текущему состоянию, или глобальной в смысле движения к абсолютному (глобальному) минимуму соответствующей потенциальной функции. Приближенное описание динамического процесса на языке потенциальных функций включает следующие составляющие:
где R — есть пространство действительных чисел. При этом предполагается, что система ведет себя так, что при фиксированном входе x ее наблюдаемое состояние соответствует локальному либо глобальному минимуму потенциальной функции. Рис.5.1 — Потенциальная функция системы А) — движение к локальному минимуму; В) — движение к глобальному минимуму; f(z, a) — потенциальная функция; z(a) — начальное положение системы, где а — внешний параметр. Замена параметра а на а* приводит к изменению положения минимума функции f(z, a). Использование потенциальной функции для описания хорошо изученных физических систем оказалось весьма удачной альтернативой внутренних описаний. Успешное применение такого подхода в классической физике обусловлено существованием незыблемых вариационных принципов, таких как принципы Гамильтона, Ферма и Даламбера. В большинстве случаев внутреннее описание физического процесса на языке потенциальных функций естественным образом вытекает из описания с пoмощью потенциальных функций в силу уравнений Гамильтона-Якоби и Эйлера-Лагранжа. В системах, которые являются предметом изучения общественных наук, возможность использования такого описания не столь обоснована из-за сложности применения вариационных принципов. Однако в ряде случаев при анализе устойчивости или в теории катастроф знание точного вида потенциальной функции не является необходимым для определения важных качественных свойств системы — важен лишь сам факт ее существования. С описанием системы на языке потенциальных функций тесно связана идея описания поведения систем с помощью энтропии. Как известно из классической термодинамики, энтропия является мерой беспорядка, существующего в данной физической системе. Мерой упорядоченности системы является отрицательная энтропия или негэнтропия. В основе описания динамического процесса с помощью энтропии лежит предположение преобразовании негэнтропии входа в информацию. Это означает, что все замкнутые системы изменяются таким образом, что минимизируют изменение энтропии. Таким образом, становится очевидной связь между описанием на языке потенциальных функций и энтропии. Чтобы показать общность описаний в терминах энтропии, перечислим основные аксиомы релятивистской теории информации, развитой Джюмэри для динамических процессов. Аксиома 1. Система является частью некоторой вселенной и развивается только постольку, поскольку она преследует некоторую цель. Аксиома 2. Для достижения цели система воспринимает информацию I из окружающей среды и использует эту информацию для перестройки собственной организации (внутренней структуры) A, в результате которой увеличилась бы негэнтропия n, и для оказания воздействия L на окружающую среду. Аксиома 3. (Принцип эволюции). Структурная энтропия Е системы определяется соотношением dE = dI/n и является неубывающей функцией эволюции. Аксиома 4. Вселенная не может наблюдать собственную эволюцию. В силу этих аксиом уравнение состояния системы имеет вид: f(He, Hi, ν) = 0, где
При таком подходе к описанию системы наблюдатель (или лицо, принимающее решение) играет особую роль, причем особый упор делается на кинематический подход, основанный на аналогах преобразования Лоренца для двух наблюдателей R и R*. Анализируя уравнение состояния, можно заметить, что знание функции f позволяет вычислить структурную энтропию Е c помощью соотношения, описывающего обмен информацией: dI = α ⋅ dHe + β ⋅ dHi
|