Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на нее можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где — угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем в виде , где — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а — аналогично, перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить еще два выражения для .

Для систем, совершающих вращение вокруг одной из осей симметрии (вообще говоря, вокруг так называемых главных осей инерции), справедливо соотношение

где — момент инерции относительно оси вращения, — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости линейным оператором момента инерции: