Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. В шкафу находится 9 приборов, из которых 5 новых

Задача 1. В шкафу находится 9 приборов, из которых 5 новых. Наугад выбирают 4 прибора. Найти распределение, среднее значение и дисперсию числа новых приборов из 4 выбранных.

Задача 2. Фактический диаметр шариков имеет нормальное распределение со средним значением 10 мм и среднеквадратическим отклонением 0, 4 мм. При контроле бракуют шарики, не проходящие в круглое отверстие диаметром 10, 7 мм, и все проходящие через круглое отверстие диаметром 9, 3 мм. Найти процент бракованных шариков.

Задача 3. В осветительной сети нормальное напряжение – u ₀. Фактически напряжение имеет отклонение от нормального значения и распределено по нормальному закону со средним u ₀ и среднеквадратическим отклонением s₀.

В сеть включена лампа. Если в сети напряжение u, то лампа перегорает с вероятностью q (u), возрастающей линейно от 0 при u= u ₀ до 1 при u= u ₁ > u ₀. Найти полную вероятность перегорания лампы при включении.

Задача 4. В каждом из двоичных разрядов датчика случайных чисел с равной вероятностью могут оказаться 0 или 1. Найти вероятность того, что в случайно зарегистрированном числе из 8 разрядов в половине разрядов будут нули.

Задача 5. Дана плотность вероятности f (x) случайной величины Х:

f (x)= Сх при х Î [0, 1], f (x)= C при х Î [1, 2], f (x)=0 при х Ï [0, 2]. Найти:

С, F (x), m_x, D_x, s _x, P (| X - m_x |< s _x).

Задача 6.. Дана плотность вероятности f (x) случайной величины Х:

f (x)= С /(1- х)^{0, 5} при х Î [-1, 1], f (x)=0 при х Ï [-1, 1]. Найти:

С, F (x), m_x, D_x, s _x, P (| X - m_x |< s _x).

Задача 7. Найти характеристическую функцию для случайной величины х, распределённой по закону Лапласа , а также m_x.

Задача 8. Функция распределения случайной величины х имеет вид:

Определить постоянные а и b и дисперсию случайной величины.

Задача 9. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время t задаётся формулой: F (t) = 1- ехр(-g t). Определить вероятность того, что время поиска судна будет больше его среднего значения.

Задача 10. Дана интегральная функция распределения закона Коши:

F (x) = с + b arctg(x/a), -¥ < х < ¥. Определить постоянные с и b, а также плотность распределения.

Задача 11. Функция распределения случайной величины х имеет вид:

Определить постоянную а. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 12. Найти характеристическую функцию случайной величины X, подчинённой закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника), имеющему область допустимых значений (- а, а).

Задача 13. Найти параметр a и вероятность попадания случайной величины в интервал (-1, 1), если плотность распределения f (x) = a /(1 + х ²), -¥ < х < ¥.

Задача 14. Плотность вероятности случайной величины имеет вид

.

Определить дисперсию X.

Задача 15. Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f (х)= aехр(-b | х |), -¥ < х < ¥., a > 0, b > 0.

Найти соотношение между постоянными a и b и интегральную функцию распределения случайной величины X.

Задача 16. 3адана плотность гамма-распределения случайной величины X:

.

Найти выражение для начальных моментов порядка п.

Задача 17. Каково должно быть а, чтобы являлась плотностью распределения случайной величины Х, изменяющейся в бесконечных пределах?

Задача 18. При каком значении а функция

является плотностью распределения случайной величины Х?

Задача 19. Скорость молекул газа имеет плотность распределения Максвелла:

Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину А при заданном h.

Задача 20. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей плотность распределения Лапласа:

.