Список задач контрольной работы № 3

1. Исследовать сходимость числового ряда.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

2. Найти интервал сходимости степенного ряда.

2.1. . 2.2.

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0, 001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у = у (х) дифференциального уравнения у' = f (х, y), удовлетворяющего начальному условию у (0) = у ₀.

4.1. у' = cos x + y ²; у (0) = 1.

4.2. у' = e^x + y ²; у (0) = 0.

4.3. у' = y + y ²; у (0) = 3.

4.4. у' = 2 e^y - xy; у (0) = 0.

4.5. у' = sin x + y ²; у (0) = 1.

4.6. у' = e^x + y; у (0) = 4.

4.7. у' = x ² + y ²; у (0) = 2.

4.8. у' = sin x + 0, 5 y ²; у (0) = 1.

4.9. у' = 2 e^y + xy; у (0) = 0.

4.10. у' = x + x ² + y ²; у (0) = 5.

5. Разложить данную функцию f (х) в ряд Фурье в интервале (a; b).

5.1. f (х) = x + 1 в интервале (-p, p).

5.2. f (х) = x ² + 1 в интервале (-2, 2).

5.3. f (х) = в интервале (-p, p).

5.4. f (х) = 1 + | x | в интервале (-1, 1).

5.5. f (х) = в интервале (-p, p).

5.6. f (х) = |1 - x | в интервале (-2, 2).

5.7. f (х) = | x | в интервале (-p, p).

5.8. f (х) = x - 1 в интервале (-1, 1).

5.9. f (х) = x ² в интервале (0, 2p).

5.10. f (х) = в интервале (-p, p).

6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

6.1. (х ² - у ²) у ' = 2 ху. 6.2. (1 + х ²) у ' - 2 ху = (1 + х ²)².

6.2. ху ' = . 6.4. ху ' + у - 3 = 0.

6.5. ху ' + - у = 0. 6.6. у ' cos x = (у + 1) sin x.

6.7. ху ' - у = . 6.8. х ² у ' = 2 ху + 3.

6.9. х ² у ' + у ² - 2 ху = 0. 6.10. ху ' + у - х - 1 = 0.

7. Найти частное решение дифференциального уравнения
y " + py ' + qy = f (x), удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = у ₀,

у' (0) = .

7.1. y " + 4 y ' - 12 y = 8 sin 2 x; у (0) = 0, у' (0) = 0.

7.2. y " - 6 y ' + 9 y = x ² - x + 3; у (0) = 4/3, у' (0) = 1/27.

7.3. y " + 4 y = е^{- 2 х} ; у (0) = 0, у' (0) = 0.

7.4. y " - 2 y ' + 5 y = xе ^{2 х} ; у (0) = 1, у' (0) = 0.

7.5. y " + 5 y ' + 6 y = 12 cos 2 x; у (0) = 1, у' (0) = 3.

7.6. y " - 5 y ' + 6 y = (12 х - 7) е ^{- х}; у (0) = 0, у' (0) = 0.

7.7. y " - 4 y ' + 13 y = 26 x + 5; у (0) = 1, у' (0) = 0.

7.8. y " - 4 y ' = 6 x ² + 1; у (0) = 2, у' (0) = 3.

7.9. y " - 2 y ' + y = 16 е^х; у (0) = 1, у' (0) = 2.

7.10. y " + 6 y ' + 9 y = 10 е ^{-3 х} ; у (0) = 3, у' (0) = 2.

8. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

8.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

8.2. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

8.3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0, 9, вторым – 0, 8, третьим – 0, 7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.

8.4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

8.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0, 9, второе – 0, 95, третье – 0, 85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

8.6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0, 02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

8.7. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, наугад взятых из этой партии, ровно 3 окажутся дефектными.

8.8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

8.9. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной рана 0, 7, если она изготовлена на первом станке, 0, 8 – если на втором, 0, 9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

8.10. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наугад по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

9. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х ₁ и х ₂, причем х ₁ < х ₂. Известны вероятность р ₁ возможного значения х ₁, математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

9.1. р ₁ = 0, 1; М (Х) = 3, 9; D (Х) = 0, 09.

9.2. р ₁ = 0, 3; М (Х) = 3, 7; D (Х) = 0, 21.

9.3. р ₁ = 0, 5; М (Х) = 3, 5; D (Х) = 0, 25.

9.4. р ₁ = 0, 7; М (Х) = 3, 3; D (Х) = 0, 21.

9.5. р ₁ = 0, 9; М (Х) = 3, 1; D (Х) = 0, 09.

9.6. р ₁ = 0, 9; М (Х) = 2, 2; D (Х) = 0, 36.

9.7. р ₁ = 0, 8; М (Х) = 3, 2; D (Х) = 0, 16.

9.8. р ₁ = 0, 6; М (Х) = 3, 4; D (Х) = 0, 24.

9.9. р ₁ = 0, 4; М (Х) = 3, 6; D (Х) = 0, 24.

9.10. р ₁ = 0, 2; М (Х) = 3, 8; D (Х) = 0, 16.

10. Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

10.1. F (x) =

10.2. F (x) =

10.3. F (x) =

10.4. F (x) =

10.5. F (x) =

10.6. F (x) =

10.7. F (x) =

10.8. F (x) =

10.9. F (x) =

10.10. F (x) =

Приложение

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический университет» в г. Сызрани

Кафедра ОТД

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

по дисциплине " Математика"

на тему " Ряды. Дифференциальные уравнения.

Элементы теории вероятностей"

Выполнил

студент группы _______

_____________________

(Ф.И.О.)

Проверил

к.п.н., доцент

Егорова И.П.

Сызрань, 2012