Решение. Пусть угол при вершине A параллелограмма ABCD равен 60o , AB=1 , BC=2

Пусть угол при вершине A параллелограмма ABCD равен 60 ^o, AB= 1, BC= 2. В равнобедренных треугольниках ADE и BCF известно, что

AED = BFC = 120 ^o, AE=DE=BF=FC= = .

Заметим, что четырёхугольник BEDF — параллелограмм, т.к. его противоположные стороны BF и DE равны и параллельны. Значит, его диагональ EF проходит через середину O диагонали BD, т.е. через центр параллелограмма ABCD.

В треугольнике ABD сторона AB вдвое меньше стороны AD, а BAD = 60 ^o, поэтому ABD = 90 ^o. Тогда

BD=AB· tg 60 ^o= 1 · = , BO = BD = ,

CBD = ABC - ABD = 120 ^o- 90 ^o= 30 ^o,

DBF = CBD+ CBF = 30 ^o+ 30 ^o= 60 ^o.

Из треугольника OBF по теореме косинусов находим, что

OF = = = .

Следовательно,

EF= 2 OF = 2 = .

Рассмотрим теперь равнобедренные треугольники ALB и CKD с углами 120 ^o при вершинах L и K. Рассуждая аналогично, докажем, что O — середина KL. Из треугольника OKD по теореме косинусов найдём, что

OK = = = .

Следовательно,

KL= 2 OK = 2 = .

Ответ: ; .

№9

В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает сторону ВС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через сторону ВС, пересекает сторону АС в точке N. Прямая MN перпендикулярна АВ и . Найдите углы треугольника АВС.